Неархимедово упорядоченное поле

В качестве примера (вернее, контрпримера) упорядоченного поля, для которого не выполнена аксиома Архимеда, рассмотрим совокупность рациональных функций с действительными коэффициентами, то есть функций вида

Относительно обычных операций сложения и умножения эта совокупность образует поле. Введем отношение порядка на совокупности рациональных функций следующим образом. Пусть и — две рациональные функции. Мы скажем, что , если и только если в некоторой окрестности разность имеет строго положительный знак. Это условие можно сформулировать и в терминах коэффициентов рациональных функций и . Запишем разность в виде многочлен + правильная рациональная дробь:

где второе слагаемое в правой части — правильная рациональная дробь, то есть степень числителя меньше степени знаменателя: . Будем также считать что старший коэффициент знаменателя равен . Тогда тогда и только тогда, когда либо , либо полиноминальная часть отсутствует и . Несложно проверить корректность этого определения порядка (следует проверить как то, что введенное отношение действительно является отношением порядка, и что это отношение согласовано с операциями поля).

Таким образом, совокупность рациональных функций образует упорядоченное поле. Заметим, что оно является расширением поля действительных чисел, но аксиома Архимеда здесь не имеет места (см. конец предыдущего раздела!). Действительно, рассмотрим элементы и . Очевидно, каким бы ни было натуральное число , имеет место неравенство:

Другими словами, — бесконечно большой элемент поля. Тем самым аксиома Архимеда в этом поле не имеет места.

Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства.