Упорядоченное поле

Пусть — упорядоченное поле. Поскольку всякое упорядоченное поле является линейно упорядоченной группой, то все вышеприведенные определения бесконечно малого и бесконечно большого элементов, а также формулировка аксиомы Архимеда сохраняют силу. Однако здесь имеется ряд специфических особенностей, благодаря которым формулировка аксиомы Архимеда упрощается.

Пусть — положительные элементы .

§ элемент бесконечно мал по отношению к элементу , тогда и только тогда, когда бесконечно мал по отношению к (такие элементы называются просто, бесконечно малыми)

§ элемент бесконечно большой по отношению к элементу , тогда и только тогда, когда бесконечно большой по отношению к (такие элементы называются просто, бесконечно большими)

Бесконечно малые и бесконечно большие элементы объединяются под названием инфинитезимальных элементов.

формулировка аксиомы Архимеда:

Для всякого элемента поля существует натуральный элемент , такой что

Или, эквивалентная формулировка,

Для всякого положительного элемента поля существует натуральный элемент , такой что