Лемма Гейне — Бореля

Формулировка Пусть — замкнутое ограниченное множество в пространстве . Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество .

Кратко говорят так: всякое открытое покрытие замкнутого ограниченного множества в пространстве содержит конечное подпокрытие. При этом покрытие называется открытым, если оно состоит из открытых множеств.

Имеет место и обратное предложение: для того чтобы всякое открытое покрытие множества содержало конечное подпокрытие необходимо, чтобы множество было замкнутым и ограниченным.

Первое доказательство Пусть отрезок покрыт бесконечной системой интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок пополам на два равных отрезка: и . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из . Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из . Но если — точка, в которую стягиваются отрезки, то, поскольку лежит на отрезке , она должна входить в некоторый интервал системы . Тогда все отрезки последовательности , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом . Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.

Второе доказательство Пусть система интервалов покрывает отрезок . Обозначим через множество всех точек , для которых отрезок может быть покрыт конечным числом интервалов из . Ясно, что если всякий отрезок вида может быть покрыт конечным числом интервалов из , то же верно и для отрезка : для этого возьмем интервал , покрывающий точку , и добавив его к конечному покрытию какого-нибудь отрезка , где , получим конечное покрытие отрезка . Более того, полученная конечная подсистема интервалов покрывает не только отрезок , но и некоторый отрезок вида , где .

Из первого следует, что точная верхняя грань множества принадлежит множеству . Из второго, что она должна быть равна . Тем самым, , то есть отрезок может быть покрыт конечным числом интервалом из .