Понятие функций. Область определения. Область значения

Определение функции: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y= f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - область определения этой функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при х D), образуют область значения (изменения) функции Е.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Существует три способа задания функции: табличный, аналитический, графический.

Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента х рядом выписывается соответствующее значение у, получается таблица. Например:

С точки зрения математики здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить функцию.

Способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(x) некоторое выражение с переменной х - называется аналитическим способом.

Пример 1. Функция у=f(х) задана аналитической формулой:

Найти f(-х), f(|х|).
Чтобы найти f(-х), надо в f(х) всюду вместо х подставить (-х). Получим:

. Аналогично находим и для f(|х|).

Пример 2. Найти область определения функции

Выражение вида определено при тех х, для которых х-1 0, т.е. при х 1
Значит, область определения функции - луч [1,+∞).

Пример 3. Найти области определения и значений функции y=lg(4-3x-x²).

Логарифмическая функция определена, если 4-3x-x²>0. Корни квадратного трехчлена: x₁=-4, x₂=1. Записанное выше неравенство равносильно неравенству -(x+4)(x-1)>0, что возможно при x>4 и x<1. Область определения данной функции есть интервал (-4;1). Так как в D 0<4-3x-x² 25/4, то интервал (-∞;lg(25/4)) - область значения функции.