Предел функций в точке

1. Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши. Число b называется пределом функции у = f (x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что | x – a | < d, выполняется неравенство
| f (x) – a | < e.

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f (x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности { x _n}, сходящейся к а (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n х _n ≠ а, последовательность { y _n = f (x _n)} сходится к b.

Данные определения предполагают, что функция у = f (x) определена в некоторой окрестноститочки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а –d; а + d), за исключением, быть может, точки М (а; f (а)

Критерий Коши существования предела функции в точке. Число b – предел функции у = f (x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа e > 0 можно указать такую проколотую d-окрестность точки а, что для любых чисел х ₁ и х ₂, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство
| f (x ₁) – f (x ₂) | < e.

Пусть Тогда существуют пределы суммы и произведения функций f (x) и g (x), а в случае с ≠ 0 – и частного этих функций, причём:

Если определена сложная функция F (f (x)), причём то существует и предел сложной функции, причём

В теории пределов доказываются следующие два утверждения.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: где е – знаменитое иррациональное число, e = 2,71...

При вычислении пределов для раскрытия неопределённостей, связанных с дифференцируемыми функциями, часто используют правило Лопиталя.

2. Функция многих переменных. Пусть функция у = f (x ₁; x ₂; …; x _n) определена в некоторой выколотой окрестности точки Р (р ₁; р ₂; …; р _n), принадлежащей области n –мерного пространства, состоящей из точек Х (x ₁; x ₂; …; x _n). Число b называется пределом функции у = f (x ₁; x ₂; …; x _n) при Х, стремящейся к Р, если для любого числа e > 0 существует такое положительное число d, что в точках Х выколотой окрестности точки Р, задаваемой неравенствами выполняется неравенство | f (x ₁; x ₂;...; x _n) – b | < e.