Примеры. § Кольцо целых чисел . Пример евклидовой функции — абсолютная величина

§ Кольцо целых чисел . Пример евклидовой функции — абсолютная величина .

§ Кольцо целых гауссовых чисел (где i — мнимая единица, ) с нормой — евклидово.

§ Произвольное поле является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.

§ Кольцо многочленов в одной переменной над полем . Пример евклидовой функции — степень deg.

§ Кольцо формальных степенных рядов над полем K является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).

§ Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — равна максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент, а норма нуля — минус бесконечность.

§ Кольцо функций H(K), голоморфных на связном компакте K в C (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в H(K), если они совпадают в некоторой окрестности K), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на K.

§ Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций H(D), голоморфных в открытом круге D, является пересечением евклидовых колец функций H(K), голоморфных на замкнутых кругах K, содержащихся внутри D (см. предыдущий пример), однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.

§ Кольцо частных S⁻¹R евклидова кольца R по мультипликативной системе S тоже является евклидовым. Нормой дроби x из S⁻¹R принимается

, где — евклидова норма в R, а — норма в S⁻¹R.

Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби и из S⁻¹R. По определению нормы в S⁻¹R существует элементы u в R и s в S, такие что и . Произведём деление с остатком в кольце R элементов rs и u:
rs = uq + r', так что . Тогда . Из построения следуют неравенства .

§ Евклидовым является кольцо конечных десятичных дробей, так как оно является кольцом частных кольца целых чисел .

§ Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов .