Различные интерпретации производной функции

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

§ Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

§ Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

§ Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

— производная первого порядка по при , или — вторая производная по в точке и т. д.

§ Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

, или иногда .

§ В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение U с индексом x (без штрихов), что означает производная U по x.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРИЗВОДНОЙ

значение производной f ^' (x ₀) равняется угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в точке M ₀(x ₀, f (x ₀));

f '(x ₀) = tg Φ, где Φ - угол наклона касательной к оси 0Х

Уравнение касательной к графику f(x) в точке M ₀(x ₀, f (x ₀))

y – f (x 0) = f ' (x 0)(x - x 0).

Уравнение нормали к графику f(x) в точке M ₀(x ₀, f (x ₀))

.