Равномерная непрерывность функции. Примеры. Теорема

О п р е д е л е н и е 1. Функция , определенная на множестве , называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для всякого найдется , зависящее только от , такое, что

для всех , удовлетворяющих неравенству .

Т е о р е м а 1. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на нем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое , что для любого найдется пара точек , удовлетворяющих неравенству , для которых

.

Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел . Для каждого найдутся точки такие, что

, но . (1)

Так как последовательности принадлежат к , то эта последовательность ограничена и из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Так как , , то подпоследовательность тоже сходится к точке . По условию функция непрерывна на и, следовательно, непрерывна в точке . Конечно, если или , то надо считать, что непрерывна в справа или соответственно слева. Поэтому

.

После перехода к пределу в (1) при получим

, (2)

и мы пришли к противоречию: .

Заметим, что в (2) мы воспользовались непрерывностью функции Теорема доказана.

П р и м е р 1. Функция

непрерывна на отрезке , поэтому на основании теоремы 1 она равномерно непрерывна на этом отрезке.

С другой стороны, на полуинтервале эта функция хотя и непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Это показывает, что требование в теореме 1, чтобы непрерывная функция была задана на отрезке, а не на интервале, существенно.

Убедимся в том, что наша функция не является равномерно непрерывной на . Точки , очевидно, принадлежат полуинтервалу , и для них

.

Если задать , то при любом найдется такое , что

,

между тем как

.

Из сказанного следует, что нашу функцию нельзя продолжить на отрезок , доопределив ее в точке так, чтобы она стала непрерывной на , потому что тогда, согласно теореме 1, она была бы равномерно непрерывной на , а следовательно, и на , чего быть не может.

 

 

32. Непрерывность непостоянной монотонной функции на отрезках.