Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если

$ e>0 " d(e)>0 $ x О E: |x-a|<;d Ю |f (x) -f (a) |>;e.

Различают точки разрыва первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x® a, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). Так в примере на рис. 15 x = 0 является точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва, когда предел функции при x® a существует, но в точке a функция либо неопределена, либо f (a)№ lim x ® af (x).

Пример 23.

f (x) =

м sin x/x, если x № 0 н о 0, если x = 0.

Так как lim_{x® a}sin x/x = 1, то x = 0 является точкой устранимого разрыва.

Пример 24. Функция Дирихле разрывна во всех точках и все точки разрыва второго рода, так как на любом интервале есть рациональные и иррациональные числа.

Свойства функций, непрерывных в точке

Отметим основные локальные свойства непрерывных функций.

Теорема 9 (локальные свойства непрерывных функций).

1. Пусть функция f:E ® R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) № 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).

3. Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a) № 0 ) непрерывны в точке a.

4. Если функция g(x):Y ® R непрерывна в точке b О Y, а функция f:E ® Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g_° f также непрерывна в точке a.

Данная теорема следует из определения непрерывности функции и соответствующих свойств предела функции.

Глобальные свойства непрерывных функций

Определение 26 (непрерывность функции на множестве).
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x)ОC_X.

Определение 27. Функция называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x)ОC_[a,b].

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций.

Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) О C_[a,b], то онаограничена на [a,b] (см. рис. 18 ).

2. (Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x) О C_[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (рис. 19 )

3. (Теорема Коши) Если f(x) О C_[a,b] и f(a)f(b)<;0, то существует c О [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20 ).

Замечание.

1. Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.

2. Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1 /x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

25. Непрерывность функций на языке «ɛ-σ».

Определение (непрерывность "на языке приращений").
Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

lim_{D x ® 0}D y = 0,

где D y = f(a+D x)-f(a).

Пример 20. Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

| sin x- sin a| = 2 | cos((x+a) / 2)sin ((x-a) / 2) | Ј 2 | sin((x-a) / 2)|Ј
Ј |x-a|/ 2 = |x-a|<;e,

как только |x-a|<d =e.

Пример 21. Любая последовательность f:N® R есть функция, непрерывная на множестве N, так как каждая точка множества N является его изолированной точкой.

Точки разрыва

Пример 22. Исследовать на непрерывность

f (x) =

м x+ 1, если x і 0 н о x- 1, если x<;0.

(рис. 17)

По графику видно, что функция не является непрерывной в точке x = 0. Существуют односторонние пределы функции справа и слева в точке x = 0, которые не равны lim_{x® -0}f(x) = -1 и lim_{x® +0}f(x) = 1. То есть определение непрерывной функции в точке не выполнено и точка x = 0 - точка разрыва функции.

Определение 24. Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке.