Верхний и нижний пределы функций

ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ - 1) В. и н. п. последовательности - наибольший, и соответственно, наименьший, предел среди всех частичных пределов (конечных и бесконечных) данной последовательности действительных чисел. Для любой последовательности действительных чисел х_n, n = 1, 2,..., множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е. в множестве действительных чисел, пополненном символами - ∞ и +∞) не пусто и имеет как наибольший, так и наименьший элементы (конечный или бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пределов наз. верхним пределом (в. п.) последовательности и обозначается

наименьший элемент - нижним пределом (н. п.) и обозначается

Напр., если

х_n = (-1)ⁿ,

то

если

х_n = (-1)ⁿn,

то

если

х_n = n + (-1)ⁿn,

то

У всякой последовательности существует в. п. (н. п.), при этом, если последовательность ограничена сверху (снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы число а было в. п. (соответственно н. п.) последовательности х_n, n = 1, 2,..., необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 выполнялись условия: а) существует такой номер n_ε, что для всех номеров n ≥ n_ε справедливо неравенство х_n < а + ε (х_n > а - ε); б) для любого номера n₀ существует такой номер n' = n'(ε, n₀), что n' > n₀ и х_n' > а - ε (х_n' < а + ε). Условие а) означает существование при любом фиксированном ε > 0 в последовательности {х_n} лишь конечного числа таких членов х_n, что х_n > а + ε(х_n < а - ε). Условие б) означает существование бесконечного множества таких членов х_n, что х_n > а - ε(х_n < а + ε). Понятие н. п. сводится к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов последовательности:

Для того чтобы последовательность х_n, n = 1, 2,..., имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов - ∞ или +∞), необходимо и достаточно, чтобы

2) В. п. (н. п.) функции f(x) в точке x₀ предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(x) в окрестности точки х₀, когда эти окрестности стягиваются к точке х₀. Он обозначается

Пусть функция f(x) определена на метрич. пространстве R и принимает действительные значения на R. Если x₀ ∈ R и О(х₀; ε) есть ε-окрестность точки х₀, ε > 0, то

соответственно

В каждой точке x ∈ R у функции f(x) существуют как в. п. f̄(x), так и н. п. f̠(x) (конечные или бесконечные). Функция f̄(x) полунепрерывна сверху, а функция f̠(x) полунепрерывна снизу на пространстве R (в смысле понятия полунепрерывности функций, принимающих значения из расширенной числовой прямой).

Для того чтобы функция f(x) в точке х₀ имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов +∞ или -∞), необходимо и достаточно, чтобы

Естественным образом понятие в. п. (н. п.) функции в точке переносится на действительные функции, определенные на топологич. пространствах.

3) В. п. (н. н.) последовательности множеств А_n, n = 1, 2,..., множество

состоящее из таких элементов х, к-рые принадлежат бесконечному числу множеств А_n; соответственно, множество

таких элементов х, к-рые принадлежат всем множествам А_n, начиная с нек-рого номера n = n(х). Очевидно, А̠ ⊂ А̄.