Примеры. § Функция f(x) = x2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке

§ Функция f (x) = x ² определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление

f (x) = f (x ₀) + 2 x ₀(x − x ₀) + (x − x ₀)².

Таким образом имеем: f '(x ₀) = 2 x ₀. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: Дифференциал этой функции задается формулой: df (x ₀)(h) = 2 x ₀ h.

§ Функция f (x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x ₀ = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.

уемая функция

Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).

Доказательство

Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).

По условию теоремы

Следовательно, в малой окрестности числа x0 можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что

Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x0. Так как число x0 – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b).

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.

Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же имеем, если x = 0 придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом,

Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.