Экстремумы
f(x)<f(x1) b и О°d1(х1) анологично для точки х2 f(x)>f(x1) b и О°d2(х1). Значенгие функции в точке М1, М3 и М5 – max; M2 и М4 – min – такие точки назавыются точкками экстремума или точками локального max и min. Определение: (точки экстремума) Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х0) и f(x)>f(x0) в О°(х0) или f(x)<f(x0) в этом случае точка х0 – называется точкой локального max (min).
f(x)£f(x1) в Оd1(х1) f(x)³f(x2) в Оd2(х2) говорят, что точки х1 и х2 точки не строгого локального экстремума. Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции) Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х0 и точка х0 – точка экстремума, тогда f(x0)=0 Доказательсто: Заметим, что х0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x0) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x0)=f(x)-f(x0)(x-x0)+o(x-x0) f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x0)+a(x-x0)] то при х – достаточно близких к х0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x0)¹0 (x-x0) – меняет знак при переходе черех точку х0 Þ f’(x0)=0
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх в точке х0, если f(x)-yкас<0 в О(х0)
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в точке х0, если f(x)-yкас>0 в О(х0)
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх (вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз) в каждой точке этого интервала. Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф- ференцируема в О°(х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0 – называется точкой перегиба графика f(x), если при пере- ходе через точку меняется знак выпуклости. Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)<0 (f’’(x0)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0. Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:
Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0). Если f’’(x0)<0, то f(x)-yкас>0 в О°(х0). Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О°(х0)
|
Можно указать О(х1) в которой все значения функции
Замечание:
Выпуклость и вогнутость.
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
