Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где —O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

§

§
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:

§ ;

§ при .