Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Расширенная теорема о главном значении




Теорема(Формула Тейлора для функции нескольких переменных) Пусть функция задана в области и имеет в все частные производные до порядка включительно. Пусть и -- две точки области , такие что весь отрезок между ними целиком лежит в . Тогда для некоторой точки этого отрезка имеет место равенство

(9.6*)
 
 
(9.7)

Сумма всех слагаемых в правой части формулы (9.6*), кроме записанных в последней строке, называется многочленом Тейлора функции в точке , а эта последняя строка содержитостаточный член формулы Тейлора. Считая его малым при небольших расстояниях между и (он имеет порядок , в то время как все остальные слагаемые -- порядок не выше , если не обращаются в 0), мы можем не учитывать остаточный член и, тем самым, получаем приближённую формулу

 
 
 

содержащую лишь значения функции и её частных производных, вычисленные в точке (но не в других точках ). Эту формулу можно использовать для приближённого вычисления значений функции в точках , близких к . На практике её применяют, ввиду большого числа слагаемых в правой части, лишь при небольших значениях , как правило, и .

При получается линейное приближение функции (нетрудно видеть, что правая часть совпадает с линейной функцией , графиком которой служит касательная плоскость, проведённая при к графику функции ):

 

При получается квадратичное приближение функции :

(9.8)

Многочлен Тейлора в этом случае оказывается многочленом второй степени относительно переменных .







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 175. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия