Теорема (Формула Тейлора для функции нескольких переменных) Пусть функция 
задана в области 
и имеет в 
все частные производные до порядка 
включительно. Пусть 
и 
-- две точки области , такие что весь отрезок между ними целиком лежит в . Тогда для некоторой точки 
этого отрезка имеет место равенство
Сумма всех слагаемых в правой части формулы (9.6*), кроме записанных в последней строке, называется многочленом Тейлора функции 
в точке , а эта последняя строка содержитостаточный член формулы Тейлора. Считая его малым при небольших расстояниях между и (он имеет порядок 
, в то время как все остальные слагаемые -- порядок не выше 
, если не обращаются в 0), мы можем не учитывать остаточный член и, тем самым, получаем приближённую формулу
содержащую лишь значения функции и её частных производных, вычисленные в точке (но не в других точках ). Эту формулу можно использовать для приближённого вычисления значений функции в точках , близких к . На практике её применяют, ввиду большого числа слагаемых в правой части, лишь при небольших значениях 
, как правило, 
и 
.
При получается линейное приближение функции (нетрудно видеть, что правая часть совпадает с линейной функцией 
, графиком которой служит касательная плоскость, проведённая при 
к графику функции 
):
При получается квадратичное приближение функции :
| (9.8)
|
Многочлен Тейлора в этом случае оказывается многочленом второй степени относительно переменных 
.
