Свойства. § имеет естественную структуру алгебры Ли:

§ имеет естественную структуру алгебры Ли:

§ Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если — алгебра с единицей, то для любого -модуля

Здесь — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из в .

§ является функтором из в .

Дифференцирование частного Пусть f (x) и g (x) – дифференцируемые в точке х ₀ функции, причем g (x ₀)≠ 0. Тогда в этой точке дифференцируема и дробь причем
имеет место формула

Дифференцирование произведения Пусть f (x) и g (x) – дифференцируемые в точке х ₀ функции. Тогда в этой точке дифференцируемо и произведение этих функций и имеет место формула
(f ∙ g)' = f '∙ g + f ∙ g '.

Аналогично вычисляется производная произведения любого конечного числа дифференцируемых функций:
.

Для вычисления n -й производной произведения двух n раз дифференцируемых функций, f (x) и g (x), полезна следующая формула Лейбница:

В формуле Лейбница через f ⁽⁰⁾ обозначена сама функция f; через f ^(k) – ее k -я производная; коэффициенты ; р! = 1∙2∙3∙…∙(р – 1)∙ р – произведение всех натуральных чисел от 1 до р. Аналогичные правила имеют место для вычисления дифференциалов.

Дифференцирование суммы Пусть f (x) и g (x) – дифференцируемые в точке х ₀ функции. Тогда в этой точке дифференцируема и их сумма, причем
(f + g)' = f ' + g '.

Формула обобщается на случай суммы любого конечного числа дифференцируемых функций:

Аналогичная формула верна для вычисления дифференциала суммы конечного числа дифференцируемых функций.