Дифференцируемость функции во внутренней точке

Пусть функция задана в некоторой области , и -- внутренняя точка этой области. Пусть -- произвольная точка этой же области . Разность называется приращением аргумента ; , где . Разность значений функции называется приращением, или полным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента ; -- это функция от точки и приращения .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

(7.2)

где -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от , но могут измениться, если сменить точку . Относительно величины мы предположим, что это функция, при базе являющаяся величиной большего порядка малости, чем . Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

Определение 7.11 Если указанное представление (7.2) имеет место, то функцию называют дифференцируемой в точке , а линейную относительно функцию

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции в точке . Если функция является дифференцируемой в любой точке открытой области , то функцию называют дифференцируемой в области .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала , то есть линейной части приращения, и остатка , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение :

Теорема 7.8 Дифференцируемая в точке функция является непрерывной в этой точке. Доказательство. Действительно, если , то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид ; множитель не зависит от , то есть постоянен, а , поскольку Величина также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем . Значит, . Но условие как раз и означает, что при , то есть что функция непрерывна в точке .