Понятие и геометрический смысл дифференциала
Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции. Дифференциал функции y = f (x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).
29. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d2x = d3x =... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
Таблица производных[править | править вики-текст]
|
