Метод Гаусса
Матрица Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных Тогда переменные Если хотя бы одно число Пусть Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом
Простейший случай [править | править вики-текст] В простейшем случае алгоритм выглядит так: · Прямой ход:
· Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение. Пример [править | править вики-текст] Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при
Теперь обнулим коэффициент при
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма. На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
|
называется основной матрицей системы, 
— столбцом свободных членов.
[4].
, где 
, то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.
для любых 
(
, где 
— номер строки):
,
и 
, соответственно:
в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 
:
из третьего;
из второго, подставив полученное 
из первого, подставив полученные 
