МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

 

Рассмотрим примеры химических реакций.

 

 

Тип первой реакции: .

Тип второй реакции: одна молекула вещества .

 

Принцип: количество атомов в уравнении реакции слева должно равняться количеству атомов в уравнении реакции справа. Численные коэффициенты для реагирующих веществ и их результатов нужны для того, чтобы соблюдался закон сохранения масс. Число атомов одного и того же вещества в реакции должно быть одним и тем же до реакции и после. Этот закон сформулировал М. В. Ломоносов в 1748-ом году. Независимо от него этот закон был также открыт позднее французом А. Лавуазье. А до этих пор химики, не зная этого закона, занимались алхимией.

 

Коэффициенты, добавляемые в уравнение для уравнивания числа атомов, называются стехиометрическими.

 

При изучении химических реакций важно знать не только массовое содержание реагентов и продуктов реакции, но ещё и скорость протекания химических реакций (например, взрыв происходит за долю секунды).

 

 

28.03.2012 Лекция

 

Скорость химических реакций описывается функцией изменения концентрации каждого химического вещества с течением времени. В силу закона сохранения масс количественный состав данного вещества сохраняется во времени (постоянен), а вот концентрация – изменяется. Будем предполагать, то химическая реакция протекает в неизменном объёме пространства (в колбе, чане, цистерны).

 

Выделим некоторое химическое вещество, обозначим его через букву , и тогда концентрацию этого элемента в некотором объёме обозначим . Тогда функция, описывающая изменение концентрации, будет обозначаться так: . Скорость изменения концентрации вещества будем обозначать .

 

Опишем химическую реакцию, используя эти понятия.

 

Попробуем выявить связь между концентрациями и скоростями. В 80-х годах XIX века голландский химик Якоб Вант-Гофф установил так называемый кинетический закон действующих масс: скорость элементарной химической реакции -го вещества в каждый момент времени пропорциональна произведению текущих концентраций реагирующих веществ, взятых в степенях, равных стехиометрическим коэффициентам.

 

Это закон позволяет по заданному типу химической реакции построить её динамическую математическую модель. В химии динамическая математическая модель называется кинетические уравнения.

 

Пример:

Дана реакция . Найдём функцию изменения концентрации вещества – .

 

.

 

Т. к. перед веществом в реакции у нас стоит коэффициент 1, то и её концентрация берётся в степени 2. Перед веществом мы имеем коэффициент 2, поэтому его концентрация берётся в квадрате. Однако здесь допущена грубая ошибка. После того, как вещество прореагирует с веществом , получится вещество , т. е. через определённый промежуток времени вещество полностью исчезнет. Это означает, что концентрация вещества с течением времени снижается. А значит, нужно взять со знаком минус. Тогда функция изменения концентрации вещества A будет выглядеть так:

 

 

Аналогично найдём функцию :

 

 

Считается, что коэффициент пропорциональности каждой -ой элементарной химической реакции есть скорость реакции при концентрации -го вещества, равной единице (в молях). Таким образом, общий коэффициент пропорциональности химического процесса должен умножаться на стехиометрический коэффициент -го вещества. Вот почему перед коэффициентом k в уравнении стоит коэффициент 2.

 

Осталось вычислить кинетику вещества D – :

 

 

Здесь знак минус мы не ставим, т. к. вещество с течением реакции увеличивает свою концентрацию. Таким образом, эти три кинетических уравнения данной химической реакции описываются системой дифференциальных уравнений.

 

 

Это система нелинейных диф. уравнений первого порядка.

 

Скорости элементарных реакций зависят только от концентраций реагентов, но не от концентрации конечных продуктов.

 

 

Пример 2:

Пусть дана хим. реакция:

 

 

Найдём уравнения изменения концентрация каждого вещества: