МОДЕЛЬ ДИНАМИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ ПОПУЛЯЦИЙ

 

Основоположником модели динамико-биологических популяций является. Мальтус (XVIII в.). Эта теория принадлежит к буржуазной философии, из-за чего постоянно критиковалась сторонниками марксистко-ленинской философии. Эта теория гласит о том, что численность народонаселения постоянно возрастает, и по мере её роста неумолимо растёт и потребление природных ресурсов. В конечном итоге это приводит к возникновению вражды (войн) за природные ресурсы. В наши дни эта теория чрезвычайна актуальна.

 

Математикам сильно претит полисемантизм, т. н. словоблудие, когда смысл постоянно ограничивается за каждым символом без попыток проникнуть глубже. Поэтому математики стали работать над этой моделью для придания её моносемантизма. Большую роль в этом сыграл Фибоначчи. Он исследовал популяцию кроликов на предмет закономерностей их процессов размножения. Результатом его исследований явился ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Каждое следующее число – это сумма двух предыдущих. Динамика развития популяции кроликов так или иначе подчиняется этой последовательности: если у нас есть 1 кролик, в следующем поколении мы получим двух кроликов; теперь, имея трёх кроликов, мы получим ещё трёх; с этими шестью мы получим ещё пять; с появившимися 10 мы получим 8; с 18 кроликами у нас родится ещё 13 штук и т. д. Однако этот ряд не учитывает смерть кроликов. Т. е. все кролики в этой модели являются бессмертными и продолжают участвовать в размножении.

 

Если мы будем моделировать закономерности размножения популяции кроликов, то в качестве первейшей математической характеристики примем численность популяции в момент времени – это .

 

Для простоты, будем предполагать, что эта популяция живёт без врагов, без болезней, кормовая база в избытке, при идеальной для данного вида температуре и влажности, и на время проведения эксперимента популяция огорожена от любых стихийных бед. В таком случае интересующая нас характеристика – рост популяции – зависит только от одного условия – текущей численности.

 

Небольшой промежуток времени описывается

За произойдёт . Это и есть численность популяции через некоторый период времени. В нашем случае – это абсолютное приращение численности популяция.

Выделим новую математическую характеристику – скорость: .

С математической точки зрения имеем:

 

 

Таким образом, мы моделируем две величины: скорость процесса и численность населения .

 

Установим отношения между скоростью прироста численности и начальной численностью. Предположим, у нас есть 10 особей некого вида и какой-то промежуток времени . За данное время появились 2 новые особи, значит скорость роста популяции равна двум особям за . Если же у нас 20 особей, то тогда за время появилось бы 4 новые особи, т. е. в 2 раза больше. Будь у нас тысяча особей, скорость была бы в 1000 раз больше. Следовательно, скорость роста численности популяции прямо пропорционально возрастает с возрастанием численности популяции:

 

 

 

Это и есть модель роста популяции.

 

Условность этой модели заключается в том, что она не учитывает смертность. Смертность также зависит от численности населения: :

 

 

Эта модель может быть использована, когда численность много больше единицы: . Т. е. единицу следует считать бесконечно малой по отношению к численности популяции. Это и есть главная ограниченность модели.

 

 

21.03.2012 Лекция

 

На прошлой лекции мы построили модель роста численности популяции:

 

 

С математической точки зрения это уравнение является дифференциальным уравнением. Оно является линейным, однородным дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

 

 

Разделим переменные:

 

 

Произведём интегрирование левой и правой части:

 

 

Замечаем, что популяция не может быть отрицательной, поэтому можем просто убрать модуль:

 

 

Выполним потенцирование чтобы избавиться от логарифма:

 

 

 

Наши наблюдения начинаются с некоего начального момента времени :

 

 

Таким образом мы получаем следующий вид модели роста популяции:

 

 

Таким образом, мы не только подтверждаем слова Мальтуса о том, что численность популяции растёт с течением времени, но и уточняем его вывод: популяция растёт по экспоненциальному закону.

 

К сожалению, всё это приведёт к тому, что вся эта бесконечно растущая популяция расселится по всей поверхности Земли, употребит все запасы провизии и прочие полезные ресурсы, что неизбежно приведёт к её вымиранию. Мальтус также заключил, что всё это будет сопровождаться войнами – конфликтами популяций, но как мы знаем, это необязательно: существуют болезни, катаклизмы и прочие механизмы саморегуляции Земли как глобальной экосистемы. Однако, это всего лишь литературные выкладки. Чтобы учесть их в нашей модели, нам нужно её модернизировать.

 

Шагом к такой модернизации явились работы учёного Ферхюльста, который развил модель Мальтуса путём учёта дополнительных факторов. Основная его заслуга заключается в построении математической модели самоограничения роста популяции. Такие факторы как болезни и конкуренция возникают в силу ограниченности ресурсов. Во главу угла ставим внутрипопуляционную конкуренцию – каждый член популяции хочет выжить в условиях ограниченности ресурсов, поэтому вступает в борьбу. Здесь сложно разобраться в многообразии различных взаимодействий: бороться могут как отдельные особи, так и коалиции, так и неравные группы и т. д. Поэтому для моделирования таких сложных явлений требуется математическая трезвость и фантазия.

 

Ферхюльст положил в основу конкуренцию между двумя особями – парную конкуренцию. Любые возможные способы конкурентной борьбы могут быть представлены конкурентной борьбой каждой пары особи в популяции.

 

 

Существует некоторая средняя сила конкурентной борьбы между двумя группами. Тогда остаётся подсчитать число пар в популяции. Это число пар мы умножим на некоторую среднюю интенсивность конкуренции между ними и получим усреднённую оценку конкуренции во всей популяции. Спрашивается, сколько может быть пар особей, если численность популяции равна ?

 

Декартово произведение множеств состоит из пар: .

Мощность декартового произведения множеств равно произведению мощностей:

 

 

			…
…

 

 

 

Общее количество конкурирующих пар в случае, когда и – разные множества, равно . Однако в нашем случае , . Значит, .

 

Тогда получается, что число конкурирующих пар намного меньше , т. к. сама с собой особь конкурировать не может. Исключаем диагональные элементы:

 

			…
…

 

Кроме того, следует учесть симметрию: конкурирующая пары и – это одна и та же пара. Значит, из общего числа пар следует вычесть половину. Полученное разделим на два и получим:

 

 

Однако помним, что , тогда:

 

 

Умножим на – усреднённую силу борьбы между двумя особями:

 

 

Умножим полученную дробь на 2, тогда усреднённая сила парной борьбы превратится в обычную силу борьбы:

 

 

С учётом полученной модели усреднённой парной конкурентной борьбы в популяции, её динамика будет описываться следующим уравнением:

 

 

Это также дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, однако уже нелинейное. Проинтегрируем его:

 

 

 

 

 

Решив это уравнение, мы получим следующее:

 

 

 

Это и есть выражение зависимости численности популяции от времени с учётом конкурентной борьбы. Только вместо секунд нашей единицей времени будет .

 

При получаем предел:

 

 

Т. е. при наличии фактора ограничения в виде конкурентной борьбы будет наблюдаться некоторая стабильность численности популяции. Хорошей иллюстрации к этой модели является численность населения Западной Европы.

 

График численности популяции будет асимптотически приближаться к прямой :

 

 

Если начальная численность популяции больше чем (как в случае с ), то график будет постоянно опускаться, а если меньше () – подниматься.

 

Потому как наука существует только до тех пор, пока она развивается, сразу же начнём критиковать свежесозданную модель. Основной недостаток этой модели в том, что мы всё ещё говорим только об одной популяции, не учитывая межпопуляционные взаимодействия.