ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

 

Данная модель была рассмотрена в 1910 году тем же шведским химиком А. Д. Лотка.

 

 

Лотка реализовывал особый вид химической реакции для данной цепочки. Особенность её заключается в следующем: превращение вещества в вещество происходит путём химического взаимодействия вещества с продуктом своего распада .

 

Запишем кинетическое уравнение вещества , которое участвует в двух реакциях. Предполагаем, что вещество A находится в избытке.

 

 

. Вещество не просто распадается, а распадается путём взаимодействия с веществом своего распада.

 

Обобщённая модель изменения концентрации вещества :

 

 

Запишем обобщённую модель изменения концентрации вещества , которое также участвует в двух реакциях:

 

 

Аналогично для вещества :

 

.

 

Получаем следующую модель:

 

 

Из этой модели можем сделать вывод, что вещество B никак не влияет на динамику концентрации веществ и . Следовательно, вещество имеет смысл рассматривать уже после получения решения системы первых двух уравнений.

 

 

Найдём стационарные точки – точки, в которых скорость изменения концентрации равна нулю, т. е. концентрации постоянны во времени. Получим систему двух алгебраических уравнений:

 

 

противоречит уравнению 1, а следовательно, не является корнем системы.

 

в уравнение 1.

 

 

 

Получили координаты особой точки – ().

 

В этой особой точки мы получаем линейное возрастание вещества во времени: .

 

Выясним, как себя ведут фазовые траектории в этой особой точке. Начертим фазовую плоскость:

 

 

Для данной модели найденная особая точка имеет тип “фокус”. В окрестностях такой точки фазовые траектории не являются замкнутыми, в данном случае фазовые траектории стремятся к фокусу по спирали. Методологию этого вывода мы рассмотрим позже.

 

Фазовые траектории здесь бесконечно наматываются по спирали вокруг фокуса, но не достигают его.

 

В данной модели особая точка фокус является устойчивой. Это значит, что каковы бы ни были начальные условия реакции, все фазовые траектории будут стремиться по спирали к фокусу. Если бы фокус был неустойчивым, то фазовые траектории бы постоянно удалялись от него по спирали (стрелочки в обратную сторону).

 

Существуют системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, которые имеют единственную особую точку, являющуюся неустойчивым фокусом. В этом случае фазовые траектории меняют направление на противоположное.

 

Больше моделировать химические реакции на лекциях мы не будем.