Распределения, связанные с нормальным распределением

С нормальным распределением связаны многие другие распределения, среди которых в статистике чаще всего используются следующие:

1. (хи-квадрат) распределения Пирсона.

2. t-распределение Стьюдента (настоящая фамилия Госсет).

3. F-распределение Фишера.

Для этих распределений, включая нормальное имеются специальные статистические таблицы, которые позволяют находить значения того или иного распределения. Эту же проблему можно решить с помощью статистических функций мастера функции Excel.

 

Хи-квадрат распределения!

 

Хи-квадрат распределения получают следующим образом: берётся n независимых случайных величин, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Затем, они возводятся в квадрат после чего, эти квадраты суммируются. Полученная таким образом сумма обычно обозначается и называется хи-квадрат распределение с n степенями свободы, то есть:

.

Хи-квадрат распределения зависит только от одного параметра n, которое называется числом степеней свободы. График хи-квадрат распределения не является симметричным, причём асимметрия у него положительная (правая). График располагается в первой четверти, так как хи-квадрат распределения принимает только положительные значения.

Среднее значение хи-квадрат распределения равно числу степеней свободы, а дисперсия равна удвоенному числу степеней свободы. При увеличении числа степеней свободы хи-квадрат распределения приближается к нормальному распределению.

 

t-распределение Стьюдента!

Для получения t-распределения Стьюдента необходимо взять стандартную нормально распределённую величину и разделить её на квадратный корень из нормированной хи-квадрат распределённой величины. Полученная таким образом величина обозначается t_n и называется t-распределения Стьюдента с n степенями свободы, то есть:

t-распределение Стьюдента зависит только от одного параметра – числа степеней свободы n. График Стьюдента является симметричным относительно вертикальной координатной оси:

 

При больших значениях числа степеней свободы (n>30) t-распределение Стьюдента практически не отличается от стандартного нормального распределения.

 

F-распределение Фишера!

F-распределение Фишера представляет собой отношение двух нормированных хи-квадрат распределённых величин соответственно с n и m степенями свободы.

Оно обычно обозначается F_n;m и называется F-распределением Фишера с n и m степенями свободы, то есть:

f-распределение Фишера, зависит от двух параметров: числа степеней свободы n и числа степеней свободы m. График F-распределения Фишера не является симметричным, причём асимметрия у него положительная (правая). График располагается в первой четверти, так как F-распределение принимает только положительные значения

 

Список возможных экзаменационных задач!

1. Осуществить табулирование исходных данных и построить гистограмму.

2. Осуществить табулирование исходных данных и построить полигон частот.

3. Осуществить табулирование исходных данных и построить огиву (сглаженную кривую).

4. Вычислить моду выборки.

5. Вычислить медиану выборки.

6. Вычислить среднее значение выборки.

7. Вычислить дисперсию выборки.

8. Вычислить стандартное отклонение выборки.

 

 

 

Список возможных экзаменационных задач!

1. Осуществить табулирование исходных данных и построить гистограмму.

Граница интервалов	Подсчёт	Частоты
1 – 3	I I I I I I I
3 – 5	I I I I I
5 – 7	I I I I
7 – 9	I I I I I
9 – 11	I I I I

5 7 9 8 6 5 4 9 7 2 1 1 1 1 3 9 3 9 4 3 2 5 7 8 1

2. Осуществить табулирование исходных данных и построить полигон частот.

Граница интервалов	Подсчёт	Частоты
1 – 3	I I I I I I I
3 – 5	I I I I I
5 – 7	I I I I
7 – 9	I I I I I
9 – 11	I I I I

5 7 9 8 6 5 4 9 7 2 1 1 1 1 3 9 3 9 4 3 2 5 7 8 1

3. Осуществить табулирование исходных данных и построить огиву (сглаженную кривую).

Граница интервалов	Подсчёт	Частоты	Накопленные частоты	%
1 – 3	I I I I I I I
3 – 5	I I I I I		7+5=12
5 – 7	I I I I		12+4=16
7 – 9	I I I I I		16+5=21
9 – 11	I I I I		21+4=25

5 7 9 8 6 5 4 9 7 2 1 1 1 1 3 9 3 9 4 3 2 5 7 8 1

 

4. Вычислить моду выборки.

 

1 – 5

2 – 2

3 – 3

4 – 2

5 – 3

6 – 1

7 – 3

8 – 2

9 – 4

Ответ: Х_mod=1

 

 

5. Вычислить медиану выборки.

 

1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 8 9 9 9 9

Если нечётное количество респондентов, то

Ответ: Х_med=5

 

 

6. Вычислить среднее значение выборки.

 

Округляем число до целого, из 4,8 округляем до 5.

Ответ: =5

 

 

7. Вычислить дисперсию выборки.

Хi

 

Ответ: =12,4

8. Вычислить стандартное отклонение выборки.

 

Ответ: S_х=3,52

ЛИТЕРАТУРА:

1. Ермолаев О.Ю. – «Математическая статистика для психологов». Учебник (2003);

 

2. Наследов А.Д. – «Математические методы в психологическом исследовании. Анализ и интерпретация данных». Учебное пособие (2006);

 

3. Сидоренко Е.В. – «Методы математической обработки в психологии» (2006).