Меры центральной тенденции

Часто, для описания исходных данных, используют ряд показателей, которые позволяют характеризовать всю совокупность исходных данных в целом. Такие показатели в статистике называются мерами центральной тенденции. К ним относятся:

Мода

Медиана

Среднее значение

Мода выборки!

Мода выборки – это такое значение в исходных данных (выборке), которая встречается наиболее часто. Будем обозначать моду (X_mod). Например, для выборки 8, 6, 2, 9, 10, 6, 9, 9 имеет:

Раз

Раза

Раз

Раза

Раз

X_mod=9.

В некоторых случаях, мода находится не так просто:

· В случае, когда все значения в выборке, встречаются одинаково часто, принято считать, что такая выборка не имеет моды. Например: 2, 3, 6, 7, 9 - моды нет. 2, 2, 3, 3, 6, 6 - моды нет. 2, 2, 2, 2, 2, 2 - X_mod=2.

· Если в упорядоченной выборке 2 соседних значения встречаются одинаково часто и чаще всех остальных значений, то в этом случае в качестве моды выбирается среднее значение этих двух величин. Например: 10, 2, 8, 2, 6, 5, 5, 2, 8, 5, 1 расставим цифры по возрастанию: 1, 2, 2, 2,5, 5, 5, 6, 8, 8, 10, тогда X_mod = = 3,5

· Если одинаково часто, встречаются 2 значения в выборке, но они не являются соседними в упорядоченной выборке, а в выборке ещё есть значения, которые встречаются реже этих двух значений, то принято считать, что выборка имеет 2 моды и называется бимодальной. Например: 1, 2, 2, 2, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 10 - они не являются соседями и получается 2 моды: X_mod1=2; X_mod2=5.

 

Пример комбинированного случая:

1, 2, 2, 2,5, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 10 сначала пишем: X_mod1 = = 3,5; X_mod2=8.

 

Медиана выборки!

Медиана – это такое значение в выборке, которое делит упорядоченную выборку пополам, то есть, половина элементов выборки, меньше медианы, а вторая половина элементов – больше медианы. Будем обозначать медиану (X_med). При вычислении медианы, возможны 2 ситуации:

· Выборка содержит не чётное число наблюдений. В этом случае, в качестве медианы выбирается значение расположенное точно в середине упорядоченной выборки. Например: 2, 10, 8, 7, 3 сначала мы упорядочиваем выборку: 2, 3, 7, 8, 10. Если выборка содержит большое нечётное количество наблюдений, то для нахождения порядкового номера элемента выборки, расположенного точно в середине упорядоченной выборки, необходимо вычислить следующую величину: , где n - общее число элементов выборки. Например, для выборки объёма n=75: = =38, однако это не медиана, а лишь порядковый номер элемента, то есть в нашем примере X_med≠38.

· Выборка содержит чётное количество наблюдений. В этом случае в качестве медианы, выбирается значение равное среднему значению двух величин, расположенных в середине упорядоченной выборки. Например: 2, 3, 6, 7, 8, 10 X_med= =6,5. Если выборка содержит большое чётное количество наблюдений, то для нахождения порядковых номеров двух элементов в выборке, расположенных точно в середине упорядоченной выборки, необходимо вычислить 2 следующие величины: , +1. Однако это не медианы, а лишь порядковые номера элементов, то есть в нашем примере X_med≠; .

 

Среднее значение выборки!

x= =

Для вычисления среднего значения все элементы выборки суммируются и полученная сумма, делится на количество элементов выборки.