Вычисление среднего возраста посетителей библиотеки
Среднее обладает рядом важных свойств. В частности, если сложить все значения отклонений от среднего значения, т. е. разности между X и X 1 X2... X i(которые могут быть и положительными, и отрицательными), то сумма отклонений будет равна нулю. Кроме того, сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от их арифметического среднего меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки[193]. Эти свойства среднего определяют его уникальную роль в решении ряда статистических задач, о которых мы будем говорить ниже. Сейчас достаточно отметить то обстоятельство, что при использовании среднего в качестве «представителя» (т. е. статистической оценки) каждого из наблюдаемых значений, ошибка, определяемая как сумма квадратов отклонений, будет минимальной. Не стоит, однако, забывать о том, что и минимальная ошибка может быть достаточно большой. Так, для малых выборок, имеющих более чем одну моду, любая мера центральной тенденции, включая среднее, будет недостаточно хороша. Центральной тенденции в таком распределении просто не существует. Выбирая меру центральной тенденции, нужно руководствоваться знанием ее свойств, общей формой распределения и, наконец, здравым смыслом. Если при взгляде на гистограмму исследователь обнаруживает, что имеет дело сунимодальным симметричным распределением (половины гистограммы слева и справа от модального значения зеркально совпадают), то среднее, медиана и мода будут равны между собой. Если речь идет о выборке из большой совокупности, где интересующая исследователя переменная-признак распределена нормально (т.е. большие и малые крайние значения встречаются редко, а средние — часто), наилучшим показателем будет среднее. Если в унимодальном распределении встречаются крайние значения, могущие значительно повлиять на среднее (см. пример с возрастом, табл. 8.2), нужно отдать предпочтение медиане. Вопрос о сравнимости средних значений не так тривиален, как это может показаться. Сравнение значений средних показателей для различных выборок или для одной и той же выборки в разные моменты времени — весьма распространенный способ анализа результатов. Не только в научных журналах, но и в газетах мы постоянно находим сведения о сравнительной величине душевого дохода в разных регионах, о различиях в среднем числе автомобилей, приходящихся на одну семью и т. п. Следует, однако, помнить о том, что заведомо некорректны сравнения различных мер центральной тенденции, например медианы и среднего. Причина здесь в том, что различные меры описывают разные характеристики распределения: медиана — среднее положение, мода — самое часто встречающееся значение и т. д. Кроме того, даже две одинаковые меры центральной тенденции не всегда сравнимы. Средние двух распределений имеет смысл сравнивать лишь в том случае, если во всех других отношениях распределения одинаковы, имеют сходную форму. Если исследователь говорит о равенстве средних значений, забыв упомянуть о том, что одно распределение симметрично, а другое — скошено вправо или влево из-за присутствия очень больших либо очень малых значений в его «хвостовых» частях, то он подталкивает читателя к заведомо неверному выводу о том, что анализируемая переменная распределена в двух выборках совершенно одинаково. Среднее распределения с очень длинным правым «хвостом» может оказаться равным среднему распределения, скошенного влево, где встречаются крайне малые значения признака. Но этим сходство будет исчерпываться: что общего (кроме величины среднего) у группы, включающей много людей с очень низким доходом, коэффициентом интеллекта и т. п., с другой группой, включающей много наблюдений с очень высокими значениями переменной-признака? Очевидно, важно не только знать, что типично для выборки наблюдений, но и установить, насколько выражены отклонения от типичных значений. Чтобы определить, насколько хорошо та или иная мера центральной тенденции описывает распределение, нужно воспользоваться какой-либо мерой изменчивости, разброса. Самая грубая мера изменчивости — размах (диапазон) значений. Эта мера не учитывает индивидуальные отклонения значений, описывая лишь диапазон их изменчивости. Под размахом понимают разность между максимальным и минимальным наблюдаемым значением. Если количество карманных денег в группе из десяти субъектов варьирует от 100 рубл. (1 человек) до 100000 рубл. (2 человека), размах будет равен 100000-100 = 99900. Еще одна грубая мера разброса значений — это коэффициент вариации (V), который определяется просто как процент наблюдений, лежащих вне модального интервала, т. е. процент (доля) наблюдений, не совпадающих с модальным значением. Если от модального отличаются 60% значений, то V = 60% (или V = 0,6). Рассказывая о процедуре построения шкалы Терстоуна, мы описали, как вычислить междуквартилъный размах — очень удобный показатель разброса значений для ординальной переменной. Напомним, что нижний, первый, квартиль (Q 1 ) отсекает 25% наблюдений, а ниже третьего квартиля (Q 3) лежат уже 75% случаев. Полумеждуквартилъный размах равен половине расстояния между третьим и первым квартилями:
Если распределение приблизительно симметрично, то можно считать, что полумеждуквартильный размах указывает границы, в которых лежит 50% данных по обе стороны медианы или среднего. Все эти меры изменчивости, как уже говорилось, можно считать скорее грубыми и приблизительными. Ни одна из них не уделяет должного внимания информации об отклонениях каждого отдельного наблюдаемого значения от среднего, хотя эта информация в большинстве случаев может быть получена из анализа распределения. Информацию о вариации некоторой совокупности значений относительно среднего несут значения отклонений от среднего, о которых мы уже говорили. Однако, просуммировав все значения отклонения (
Рис. 17. Распределение, скошенное вправо
Именно так и получают важнейшую меру рассеяния — дисперсию (s2). Если
Для того чтобы вычислить значение дисперсии, нужно вычесть из каждого наблюдаемого значения среднее, возвести в квадрат все полученные отклонения, сложить квадраты отклонений и разделить полученную сумму на объем выборки.
|
(где i = 1...7 — число различных значений)
), мы получим нуль. Положительные и отрицательные отклонения будут взаимоуничтожаться. Если же мы возведем в квадрат каждое отклонение и просуммируем квадраты отклонений, то мы получим хорошую меру рассеяния, которая будет маленькой, когда данные однородны, и большой, когда данные неоднородны. Чтобы суммы квадратов отклонений для выборок разного размера можно было сравнивать, нужно поделить каждую из них на N, где N — объем выборки[194].
