Справочные материалы. Ряд расположенных во времени статистических данных, изменение которых отражает закономерность развития изучаемого явления

Ряд расположенных во времени статистических данных, изменение которых отражает закономерность развития изучаемого явления, называется рядом динамики или временным рядом. Виды рядов динамики указаны на схеме 6.1.

Схема 6.1. Классификация рядов динамики

 

Ряды динамики можно изобразить в виде таблицы (табл. 6.1) и графически.

Таблица 6.1.

Фермерские хозяйства в России (на 1 января)

Год
Число фермерских хозяйств, тыс.	4,4	49,0	182,8	270,0	279,2	280,1	278,6	274,3
Средний размер земельного участка, га.

 

Моментный ряд динамики представлен в таблице 6.2.

Таблица 6.2

Численность безработных, зарегистрированных в органах государственной службы занятости, тыс. чел. (на конец года)

 

Интервальный ряд динамики представлен в таблице 6.3.

Таблица 6.3.

Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

66,0	64,7	63,8	64,0	64,3

Средний уровень ряда динамики определяется в соответствии со следующими формулами:

 

	Интервальный ряд	Моментный ряд
Средний уровень ряда	средняя арифметическая	средняя хронологическая
Расчет среднего уровня ряда по данным таблиц 6.2 и 6.3.

 

Для характеристики изменения уровней ряда динамики рассчитывается ряд показателей:

Показатель	Цепной	Базисный
Абсолютный прирост
Коэффициент роста
Темп роста
Коэффициент прироста
Темп прироста
Абсолютное значение (содержание) одного процента прироста
Пункты роста
Средний коэффициент роста	Или где Ki – цепной коэффициент роста в i-ом периоде; wi – вес i-ого периода, исчисляемый как
Средний коэффициент прироста
Средний темп роста
Средний темп прироста

 

Период удвоения явления. Расчет периода удвоения можно сделать следующим образом:

,

где х - период удвоения,

К - заданный коэффициент роста.

Менее точно, но более просто расчет периода удвоения можно сделать и так:

,

 

где d - cредний прирост в процентах.

 

Пример 6.2. Если население страны ежегодно увеличивается на 1%, то надо ожидать, что его численность удвоится за период длительностью:

года.

Менее точно этот же результат может быть получен и так: лет.

 

Пример 6.3. Если банковский вклад приносит 5% годовых, то он удвоится за период длительностью:

года.

Или, если применить более простой способ, через: лет.

Пример 6.1. Рассчитать показатели роста и прироста для анализа динамики производства электроэнергии в РФ (источник: Регионы России, 2002 год). (1995 – базисный год)

Таблица 6.4

Динамика производства электроэнергии в РФ

Год	Производство электроэнергии	Абсолютный прирост	Темпы роста	Темпы прироста, %		Пункты роста, %
Dyц. = = yi – yi-1	Dyб = =yi – y1	Tр.ц ==(yi/yi-1)×100	Tр.б. ==(yi/y1)×100	Тпр.ц =Тр.ц. – 100%	Тпр.б. = Тр.б – 100%	А%
	14,9	-	-	-	(14,9/14,9)*100=100,0	-	100,0 - 100,0=0,0%	-	-
	14,6	14,6-14,9= =-0,3	14,6-14,9= =-0,3	(14,6/14,9)*100=97,99	(14,6/14,9)*100=97,99	97,99-100= =-2,01%	97,99-100= =-2,01%	0,149	-2,01
	13,0	13,0-14,6= =-1,6	13,0-14,9= =-1,9	(13,0/14,6)*100=89,04	(13,0/14,9)*100=87,25	89,04-100= =-10,96%	87,25-100= =-12,75%	0,146	-10,74
	10,9	10,9-13,0= =-2,1	10,9-14,9= =-4,0	(10,9/13,0)*100=83,85	(10,9/14,9)*100=73,15	83,85-100= =-15,15%	73,15-100= =-26,85%	0,130	-14,1
	11,5	11,5-10,9= =0,6	11,5-14,9= =-3,4	(11,5/10,9)*100=105,50	(11,5/14,9)*100=77,18	105,5-100= =5,5%	77,18-100= =-22,82%	0,109	4,03
	10,7	10,7-11,5= =-0,8	10,7-14,9= =-4,2	(10,7/11,5)*100=93,04	(10,7/14,9)*100=71,81	93,04-100= =-6,96%	71,81-100= =-28,19%	0,115	-5,37
	15,7	15,7-10,7= =5,0	15,7-14,9= =0,8	(15,7/10,7)*100=146,73	(15,7/14,9)*100=105,37	146,73-100= =46,73%	105,37-100= =5,37%	0,107	33,56
		å = 0,8		П = 1,05369					å=5,37

 

Средний коэффициент роста составит

Следовательно, средний темп роста здесь составил 100,875%, а средний темп прироста равен –0,875%.

 

Преобразование временных рядов представлено на схеме 6.2

Схема 6.2. Преобразование временных рядов

Для приведения рядов к одному основанию выбирается один, общий для всех рядов начальный период, который берется за 100%.

 

Пример 6.4. Имеются следующие данные о численности населения Ростовской области за ряд лет:

Таблица 6.5.

Численность населения Ростовской области (тыс. чел. на начало года)

Городское	2420,4	3101,6	3097,8	3016,8	2994,5
Сельское	1410,9	1211,5	1250,0	1366,1	1407,0

Если взять за базу 1970 г., то более быстро растет городское население:

Таблица 6.6.

Динамика численности населения Ростовской области в процентах к 1970 г.

Городское	100,0	128,1	127,9	124,6	123,7
Сельское	100,0	85,9	88,6	96,8	99,7

Если взять за базу 1988 г., то более быстро растет сельское население:

Таблица 6.7

Динамика численности населения Ростовской области в процентах к 1988 г.

Городское	100,0	99,9	97,3	96,5
Сельское	100,0	103,2	112,8	116,1

 

 

Смыкание рядов возможно, если ряды имеют хотя бы один общий период.

 

Пример 6.5. По одному из районов области имеются данные о численности населения с 1970 г. по 1990 г. в одних границах, а с 1990 г. по 1998 г. - в других.

Таблица 6.8.

Численность населения района на начало года, тыс. чел.

В старых границах
В новых границах

 

Т.к. у двух рядов имеется один общий год, то их смыкание возможно. По данным этого общего года исчисляем коэффициент пересчета данных для старых границ в данные для новых границ:

С помощью этого коэффициента проведем пересчет численности населения:

для 1970 г. 200 ×1,25 = 250; для 1985 г. 230 × 1,25 = 287,5

Можно сделать и обратный пересчет - из новых границ в старые:

для 1995 г. 330 / 1,25 = 264; для 1998 г. 340 /: 1,25 = 272

В результате этих пересчетов получаем такую таблицу:

Таблица 6.9.

Численность населения района на начало года, тыс. чел.

В старых границах
В новых границах		287,5

 

Одной из важнейших задач статистики является выявление в рядах динамики основной тенденции развития явления (схема 6.3.):

Схема 6.3. Анализ основной тенденции развития в рядах динамики

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики.

Пример 6.6. Имеются данные об объеме производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых ценах, млн. руб.

Таблица 6.10.

Месяц	Объём производства	Месяц	Объём производства
Январь	5,1	Июль	5,6
Февраль	5,4	Август	5,9
Март	5,2	Сентябрь	6,1
Апрель	5,3	Октябрь	6,0
Май	5,6	Ноябрь	5,9
Июнь	5,8	Декабрь	6,2

 

Вычислим среднемесячный выпуск продукции по кварталам, т.е. укрупним интервалы:

Таблица 6.11.

Объем производства продукции предприятия (по кварталам) в сопоставимых ценах, млн. руб.

Квартал	Объём производства за квартал	В среднем за месяц
I	15,7	5,23
II	16,7	5,57
III	17,6	5,87
IV	18,1	6,03

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной: 5,23<5,57<5,87<16,03

 

Пример 6.7. Имеются ежемесячные данные об уровне доходов КБ «Восток» от проведения валютных операций, млн. руб.

Таблица 6.12.

Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
5,4	6,2	5,9	6,0	5,8	6,8
Июль	Август	Сентябрь	Октябрь	Ноябрь	Декабрь
6,1	6,3	6,2	6,9	7,0	6,7

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции доходности валютных операций. Укрупним интервалы:

Таблица 6.13.

Уровень доходов (по кварталам), млн. руб.

Квартал	Уровень доходов за квартал	В среднем за месяц
I	17,5	5,83
II	18,6	6,20
III	18,7	6,23
IV	20,6	6,87

Неравенство 5,83<6,20<6,23<6,87 свидетельствует об увеличении доходности валютных операций.

Метод скользящей средней основан на том, исчисляется средний уровень из определенного числа первых уровней ряда, а затем из того же числа уровней ряда, но уже начиная со второго по счету и т.д.

 

Пример 6.8. Рассчитаем скользящую среднюю по данным об урожайности зерновых культур.

Таблица 6.14.

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Год	Фактический уровень урожайности	Скользящая средняя
Трехлетняя	Пятилетняя
	15,4	-	-
	14,0	(15,4+14,0+17,6)/3=15,7	-
	17,6	(14,0+17,6+15,4)/3=15,7	(15,4+14,0+17,6+15,4+10,9)/5=14,7
	15,4	(17,6+15,4+10,9)/3=14,6	(14,0+17,6+15,4+10,9+17,5)/5=15,1
	10,9	14,6	15,2
	17,5	14,5	17,1
	15,0	17,0	16,8
	18,5	15,9	17,6
	14,2	15,9	-
	14,9	-	-
	åy=153,4

Пример 6.9. Имеются данные о количестве пластиковых карт VISA, эмитированных коммерческим банком «Дельта», тыс. шт.

Таблица 6.15.

Год	Количество эмитированных карт, тыс. шт.	Скользящая средняя
Трехлетняя	Пятилетняя
	1,2	-	-
	2,3		-
	2,2
	4,5
	5,9
	2,5
	3,6
	6,2		-
	7,6	-	-

 

Метод аналитического выравнивания основывается на том, что общая тенденция рассчитывается как функция времени: . Определение теоретических уровней производится на основе адекватной математической модели, в качестве которой могут выступать линейная, показательная, экспоненциальная и другие функции, представленные в таблице 6.16.

Таблица 6.16.

Вид уравнения	Отражаемая уравнением тенденция развития
Уравнение прямой	Равномерный рост при а1>0 или равномерное падение при а1<0
Показательная функция	Ускоряющийся рост при а1>0 или ускоряющееся падение при а1<0
Гипербола	Замедляющееся падение при а1>0 или замедляющийся рост при а1<0
Парабола	Рост, переходящий в падение, или падение, переходящее в рост в точке

 

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой .

Параметры уравнения тренда могут быть найдены по следующим формулам:

Если периоды или моменты времени пронумеровать так, чтобы = 0, то

.

Методика нумерации моментов времени в этом случае различна для рядов имеющих четное и нечетное число наблюдений. Так, если число наблюдений нечетное, то нумерация проводится так:

 

Год
t	-3	-2	-1

 

Если же число наблюдений четное, то нумерация соответственно:

 

Год
t	-3	-2	-1

 

Пример 6.10. Имеются данные о расходах населения на медицинские услуги:

Таблица 6.17.

Год	Уровень расходов на медицинские услуги, тыс.у.е.	t	t2	yt
А	Б
	2,1	-4		-8,4	1,93	0,17	0,0289	-2,07	4,2849
	2,3	-3		-6,9	2,45	-0,15	0,0225	-1,55	2,4025
	2,9	-2		-5,8	2,96	-0,06	0,0036	-1,04	1,0816
	3,6	-1		-3,6	3,48	0,12	0,0144	-0,52	0,2704
	3,9					-0,10	0,0100
	4,5			4,5	4,52	-0,02	0,0004	0,52	0,2704
					5,04	-0,04	0,0016	1,04	1,0816
	5,5			16,5	5,56	-0,06	0,0036	1,56	2,4336
	6,2			24,8	6,07	0,13	0,0169	2,07	4,2849
Итого				31,1		-	0,1019	-	16,1099

 

Таким образом, уравнение тренда может быть записано как , т.е. с каждым годом расходы на медицинские услуги возрастали на 0,5183 тыс. у.е.

Рассчитаем среднюю (стандартную) ошибку уравнения:

 

 

Здесь n – число наблюдений; m – число параметров в уравнении (а₀ и а₁).

 

Для оценки качества модели применяют F-критерий Фишера:

 

 

где y – фактические уровни ряда;

- выровненные уровни ряда;

- средний уровень ряда.

 

В нашем примере

Модель считается удовлетворительной, если , где .

Распределение F-критерия подчиняется закону распределения Фишера, фрагмент которой приводится ниже.

Таблица 6.18.

Процентные точки F – распределения ()

 

	161,4	18,5	10,13	7,71	6,61	5,59	4,96	4,35	4,17	7,88
	199,5	19,0	9,55	6,94	5,79	4,74	4,10	3,49	3,32	5,30

 

В нашем примере , т.е. полученное уравнение считается значимым.

 

Анализ сезонных колебаний. Под сезонными колебаниями понимается периодически повторяющееся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы.

 

Пример 6.11. Имеются следующие данные:

Таблица 6.19.

Производство растительного масла в России в 1992-1993 гг. по месяцам, тыс. т.

Год	Месяц
	109,5	102,7	86,6	82,3	76,6	70,0	57,6	24,5	36,3	70,7	95,2	104,5
	97,6	95,5	114,2	101,3	105,6	94,6	75,2	38,6	38,9	78,7	96,5	111,0

 

Если выявленные колебания не случайны, то они сохранятся и на укрупненных интервалах, например, квартальных.

 

Таблица 6.20.

Производство растительного масла в России в 1992-1993 гг. по кварталам

Год
Квартал	I	II	III	VI	I	II	III	IV
Произведено	298,8	228,9	118,4	270,4	307,4	301,5	152,7	286,2

 

 

При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», её выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует ряд методов решения этой задачи. Для измерения «сезонной волны» рассчитывают либо абсолютные разности (отклонения) фактических уровней от среднего уровня, либо отношения месячных уровней к среднему уровню за год, так называемые индексы сезонности:

 

Пример 6.12. Произведем расчет индексов сезонности и абсолютных отклонений уровней от среднего на примере данных о производстве растительного масла в России в 1992 году.

Таблица 6.21.

Сезонные колебания производства растительного масла в России в 1992 г.

Месяц	Производство масла, тыс.т.	Индекс сезонности, % к среднемесячному уровню	Абсолютное отклонение от среднемесячного уровня	Абсолютное отклонение, % к среднемесячному уровню	(Iсез -100%)2
Январь	109,5	143,4	33,125	43,4	1883,56	1097,266
Февраль	102,7	134,5	26,325	34,5	1190,25	693,006
Март	86,6	113,4	10,225	13,4	179,56	104,551
Апрель	82,3	107,8	5,925	7,8	60,84	35,106
Май	76,6	100,3	0,225	0,3	0,09	0,051
Июнь	70,0	91,7	-6,375	-8,4	68,89	40,641
Июль	57,6	75,4	-18,775	-24,6	605,16	352,501
Август	24,5	32,1	-51,875	-67,9	4610,41	2691,017
Сентябрь	36,3	47,5	-40,075	-52,5	2756,25	1606,006
Октябрь	70,7	92,6	-5,675	-7,4	54,76	32,206
Ноябрь	95,2	124,6	18,825	24,6	605,16	354,381
Декабрь	104,5	136,8	28,125	36,8	1354,24	791,016
Итого	916,5	1200,1			12270,84	7797,747

 

Средний месячный уровень за год:

 

Графическое изображение индекса сезонности наглядно показывает форму, характер сезонной волны, относительно среднемесячного уровня за год, принимаемого за 100%.

Для характеристики силы колеблемости уровней ряда динамики из-за сезонной неравномерности используется среднее квадратическое отклонение индексов сезонности (в процентах) от 100%

Для примера 6.12:

Этот же результат можно получить и по-другому, как коэффициент вариации (колеблемости):

, где - среднее квадратическое отклонение.

Для примера 6.12 сумма квадратов отклонений рассчитана в графе 7 таблицы 6.21, среднее значение уровня , отсюда:

,

т.е. результаты двух показателей и V - идентичны.

Расчет индексов сезонности за ряд лет можно осуществить двумя способами.

Первый способ состоит в определении простой средней за одни и те же месяцы изучаемого периода и сопоставлении их со средней за весь изучаемый период.

%

Второй способ заключается в том, что в начале вычисляют по каждому году индексы сезонности, а затем из индексов одноименных месяцев находится средняя арифметическая, которая и является индексом сезонности.

Пример 6.13. По данным о производстве растительного масла в 1992 и 1993 году рассчитаем индекс сезонности первым (табл. 6.22) и вторым (табл. 6.23) способами.

Таблица 6.22.

Расчет индекса сезонности за ряд лет первым способом

Месяц	Производство масла, тыс.т. в 1992 г.	Производство масла, тыс.т. в 1993 г.	Среднее значение за два года	Индексы сезонности
Январь	109,5	97,6	103,55	126,5184
Февраль	102,7	95,5	99,1	121,0813
Март	86,6	114,2	100,4	122,6697
Апрель	82,3	101,3	91,8	112,1621
Май	76,6	105,6	91,1	111,3068
Июнь	70,0	94,6	82,3	100,5549
Июль	57,6	75,2	66,4	81,12814
Август	24,5	38,6	31,55	38,54808
Сентябрь	36,3	38,9	37,6	45,94003
Октябрь	70,7	78,7	74,7	91,26916
Ноябрь	95,2	96,5	95,85	117,1104
Декабрь	104,5	111,1	107,8	131,711
Итого	916,5	1047,8	982,15

 

Средний уровень за два года тыс. т.

 

Таблица 6.23.

Расчет индекса сезонности за ряд лет вторым способом

Месяц	Производство масла, тыс.т. в 1992 году	Производство масла, тыс.т. в 1993 году	Индекс сезонности в 1992 году	Индекс сезонности в 1993 году	Общий индекс сезонности
Январь	109,5	97,6	143,4	111,7771	127,5743
Февраль	102,7	95,5	134,5	109,372	121,9201
Март	86,6	114,2	113,4	130,7883	122,0881
Апрель	82,3	101,3	107,8	116,0145	111,8861
Май	76,6	105,6	100,3	120,9391	110,6169
Июнь	70,0	94,6	91,6	108,3413	99,99716
Июль	57,6	75,2	75,4	86,12331	80,77033
Август	24,5	38,6	32,1	44,20691	38,14273
Сентябрь	36,3	38,9	47,5	44,55049	46,03956
Октябрь	70,7	78,7	92,6	90,1317	91,35063
Ноябрь	95,2	96,5	124,6	110,5173	117,5827
Декабрь	104,5	111,1	136,8	127,238	132,0314

 

Автокорреляция в рядах динамики. Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих. Для определения, насколько вариация признаков динамического ряда обусловлена автокорреляцией, применяется коэффициент автокорреляции. Для его расчета параллельно исходным уровням ряда y_i записываются уровни, сдвинутые на один период, т.е. y_i-1 или y_i+1.

1 ряд: у₁ у₂ у₃ у₄ у₅

2 ряд: у₂ у₃ у₄ у₅ у₆ - сдвинутый ряд

3ряд: у₃ у₄ у₅ у₆ у₇ - сдвинутый ряд

Между сдвинутыми рядами находят коэффициенты корреляции по формуле:

Часто проводится одновременный анализ нескольких динамических рядов, колебания уровней которых взаимообусловлены. Проверка рядов на автокорреляцию осуществляется по критерию Дарбина-Уотсона:

,

где - отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выровненного) значения.

 

При К=0 имеется полная положительная автокорреляция, при К=2 автокорреляция отсутствует, при К=4 полная отрицательная автокорреляция.