Как взвешенная

(4.22)

Все степенные средние различаются между собой значениями показателя степени. При этом, чем выше показатель степени, тем большеколичественное значение среднего показателя:

(4.23)

Это свойство степенных средних называется свойством мажорантности средних.

Таким образом, выбор вида среднего показателя оказывает существенное влияние на его численную величину. Выбор вида средней определяется вкаждом отдельном случае путем анализа исследуемой совокупности,изучения содержания явления. Степенная средняя выбрана правильно,если на всех этапах вычислений не меняется её логическая формула, т.е.реально сохраняется социально-экономическое содержание усредняемогопризнака.

Особый вид средних показателей – структурные средние. Они используются при изучении внутреннего строения рядов распределения значений признака. К ним относятся мода и медиана.

Мода и медиана характеризуют значение признака у статистической единицы, занимающей определенное положение в вариационном ряду.

Мода (Mo) - наиболее часто встречаемое значение признака в совокупности. Мода широко используется в статистической практике приизучении покупательского спроса, регистрации цен и др.

Медиана ( Me ) - значение признака у статистической единицы, стоящей в середине ранжированного ряда и делящей совокупность на две равные по численности части.

Для дискретных вариационных рядов Mo и Me выбираются в соответствии с определениями: мода - как значение признака с наибольшей частотой \ n_i; положение медианы при нечетном объеме совокупности определяется ее номером , где N – объем статистической совокупности. При четном объеме ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Медиану используют как наиболее надежный показатель типичного значения неоднородной совокупности, так как она нечувствительна ккрайним значениям признака, которые могут значительно отличаться отосновного массива его значений. Кроме этого, медиана находитпрактическое применение вследствие особого математического свойства: .

Рассмотрим определение моды и медианы на следующем примере:

Имеется ряд распределения рабочих участка по уровню квалификации. Данные приведены в таблице 4.4.

Таблица 4.4 - Распределения рабочих участка по уровню квалификации

№ группы	Разряд рабочих	Число рабочих	Накопленная частота
Всего	-		-

 

Мода выбирается по максимальному значению частоты: при n_max = 14, Mo = 4, т.е. чаще всего встречается 4-ый разряд. Для нахождения медианы Me определяются центральные единицы (N +1)/2. Это 25 и 26-ая единицы. По накопленным частотам определяется группа, в которую попадают эти единицы. Это 4-ая группа, в которой значение признака равно 4. Таким образом, Me = 4, это означает, что у половины рабочих разряд ниже 4-го, а у другой – выше четвертого.

В интервальном ряду значения Mo и Me вычисляются более сложным путем.

Мода определяется следующим образом:

• По максимальному значению частоты определяется интервал, в котором находится значение моды. Он называется модальным.

• Внутри модального интервала значение моды вычисляется по формуле:

(4.24)

где - нижняя граница модального интервала;

a_Мо - ширина модального интервала;

n_Мо, n_Мо-1, n_Мо+1 - соответственно частоты модального, предмодального (предшествующего модальному) и постмодального (следующего за модальным) интервалов.

Для расчета медианы в интервальных рядах используется следующий подход:

• По накопленным частотам находится медианный интервал.

Медианным называется интервал, содержащий центральную единицу.

• Внутри медианного интервала значение Me определяется по формуле:

(4.25)

где - нижняя граница медианного интервала;

a_Ме -ширина медианного интервала;

N – объем статистической совокупности;

N _Ме-1 - накопленная частота предмедианного интервала;

n _Ме - частота медианного интервала.

Расчет моды и медианы для интервального ряда распределения рассмотрим на примере ряда распределения рабочих по стажу (табл. 4.5).

 

Таблица 4.5 - Распределение рабочих участка по стажу

№ группы	Интервал	аi	ni	Ni
Всего					-

 

Расчет Mo:

• Максимальная частота n_max = 13, она соответствует четвертой группе, следовательно, модальным является интервал с границами 12 – 16 лет.

• Моду рассчитаем по формуле:

Чаще всего встречаются рабочие со стажем работы около 13 лет.

Мода не находится в середине модального интервала, она смещена к его нижней границе, связано это со структурой данного ряда распределения (частота предмодального интервала значительно больше частоты постмодального интервала).

Расчет медианы:

• По графе накопленных частот определяется медианный интервал. Он содержит 25 и 26-ую статистические единицы, которые находятся в разных группах – в 3-ей и 4-ой. Для нахождения Me можно использовать любую из них. Расчет проведем по 3-ей группе:

Такое же значение Me можно получить при её расчете по 4-ой группе:

При сдвоенном центре Me всегда находится на стыке интервалов, содержащих центральные единицы. Вычисленное значение Me показывает, что у первых 25 рабочих стаж работы – менее 12 лет, а у оставшихся 25-ти, следовательно, - более 12 лет.

Моду можно определить графически по полигону распределения в дискретных рядах, по гистограмме распределения – в интервальных, а медиану - по кумуляте.

Для нахождения моды в интервальном ряду правую вершину модального прямоугольника нужно соединить с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Для определение медианы высоту наибольшей ординаты кумуляты, соответствующей общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Кроме Mo и Me в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения. Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Различают следующие виды квантилей:

- квартили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 4 равные части;

- децили – значения признака, делящие совокупность на 10 равных частей;

- перцентели - значения признака, делящие совокупность на 100 равных частей.

 

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана.

При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

- для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую. Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых

= Me = Mo;

- для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me. Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку она занимает положение между средней арифметической и модой.