Теоретический материал. Две случайные величины находятся в корреляционной зависимости, если каждому возможному значению любой из этих случайных величин соответствует определенной

Две случайные величины находятся в корреляционной зависимости, если каждому возможному значению любой из этих случайных величин соответствует определенной распределение вероятностей другой величины. Корреляционная зависимость характеризуется формой и теснотой связи.

Корреляционныйанализсостоит в определении степени связи между двумя случайными величинами Х и Y.

Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения двух признаков X и Y.

При корреляционной зависимости условное математическое ожидание одной случайной величины является функцией значений другой случайной величины:

,

здесь - условное математическое ожидание случайной величины Х при условии, что случайная величина Y приняла значение ; - условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение .

Для дискретных случайных величин Х и Y выражения для условных математических ожиданий имеют вид:

где - условная вероятность равенства при условии, что ; - условная вероятность равенства при условии, что .

Для непрерывных случайных величин Х и Y имеют место выражения:

где - плотность вероятности случайной величины Х при условии, что ; - плотность вероятности случайной величины Y при условии, что .

Функция f(y) называется функцией регрессии величины Х на величину Y, уравнение x=f(y) называется уравнением регрессии Х на Y. Аналогично, Функция g(x) называется функцией регрессии величины Y на величину X, уравнение y=g(x) называется уравнением регрессии Y на X.

Функция регрессии характеризует форму корреляционной зависимости (линейная, показательная и т.д.).

Для характеристики тесноты связи используется безразмерная величина, называемая коэффициентом корреляции.

Коэффициент линейной корреляции определяется соотношением

.

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление корреляционной связи;

2. ;

3. В случае, когда Х и Y – независимые случайные величины, коэффициент корреляции равен 0.

4. Если , то между величинами Х и Y имеет место функциональная зависимость, а именно, линейная.

5. При связь между величинами прямая (положительная корреляция), при - связь обратная (отрицательная корреляция).

Коэффициенты ранговой корреляции применяются при оценке степени взаимосвязи качественных признаков. Для практических целей использование ранговой корреляции может быть полезно, например, в случае, когда установление высокой ранговой корреляции между двумя качественными признаками позволяет контролировать только один из них, что может существенно ускорить и удешевить контроль.

Допустим, что объекты генеральной совокупности обладают двумя качественными признаками. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно, но позволяющий сравнивать объекты между собой и, следовательно, располагать их в порядке возрастания или убывания качества.

Пусть выборка объема n содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками А и В. Рассмотрим случай, когда все объекты имеют различное качество по обоим признакам. Проранжируем объекты в порядке ухудшения качества по признаку А и присвоим им ранги

Далее расположим объекты в порядке убывания качества по признаку В и припишем каждому ранг y_i.

Получим две последовательности рангов:

по признаку А	x 1	x 2	…	xn
по признаку В	y 1	y 2	…	yn

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется следующим образом:

,

где .

Возможны следующие крайние случаи по признакам А и В:

1) x_i=y_i. Т.е. ухудшение качества по одному признаку влечет за собой ухудшение качества по другому признаку. Полная прямая зависимость.

2) x ₁=1 и y ₁= n; x ₂=2 и y ₂= n -1…, т.е. ранги по признакам А и В противоположны. Ухудшение качества по одному признаку ведет к улучшению качества по другому признаку. Противоположная зависимость.

 

Чтобы при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе необходимо рассчитать наблюдаемое значение - критерия Стьюдента:

,

затем найти критическое значение по таблице критических точек распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы k=n –2.

Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Ранговая связь между качественными признаками незначимая.

Если – нулевую гипотезу следует отвергнуть. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Вопросы для подготовки к выполнению и защите работы:

1. Дать определение корреляционно-регрессионного анализа.

2. Дать классификацию взаимосвязи (по степени зависимости; по направлению; по форме зависимости).

3. Дать понятия ранжирования, ранга.

4. Записать формулу коэффициента ранговой корреляции.

5. Сформулировать этапы проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции.

 

Задание к работе:

По имеющимся данным провести корреляционный анализ. Для этого:

1. Проранжировать исходные данные по двум признакам.

2. Рассчитать коэффициент ранговой корреляции Спирмена, указать его статистический смысл.

4. С помощью t -критерия Стьюдента проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

6. Сделать вывод по работе.

 

Пример выполнения практической работы № 4 в Excel:

Пример оформления отчета по работе № 4 в тетради: