Вопрос 1. Вынуждающая сила изменяется по гармоническому законуПримеры:
4°
1:4
Откос, при учете сцепления С = 0,005 МПа, получил заложение 1: 1,5 – что позволило сократить объем земляных работ Вопрос 1. Вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону.
При выведении колебательной системы из положения равновесия в ней будут действовать: квазиупругая сила Fх = - kx, сила сопротивления Fсопрх = - rvx и вынуждающая сила Fвын = F0sin wt.
Второй закон Ньютона запишется в виде:
Введя обычные обозначения,,, получим дифференциальное уравнение
Решение уравнения (1) ищут в виде, где - это решение уравнения (1), если бы в нем не было правой части. Видно, что без правой части уравнение превращается в известное нам уравнение затухающих колебаний, решение которого мы уже знаем. За достаточно большое время свободные колебания, которые возникнут в системе при выведении ее из положения равновесия, практически затухнут, и в решении уравнения останется только второе слагаемое. Будем искать это решение в виде
Сгруппируем слагаемые иначе:
Это равенство должно выполняться в любой момент времени t, что возможно только, если коэффициенты при синусе и косинусе равны нулю.
Из второго уравнения получаем. Этому значению должно удовлетворять j, чтобы x2(t) было решением уравнения (1).
Для определения неизвестного А возведем оба полученных нами уравнения в квадрат и сложим. Решая полученное равенство относительно А, найдем:
Разберем подробнее вопрос об амплитуде вынужденных колебаний:
1. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний не меняется с течением времени. (Сравните с амплитудой свободных затухающих колебаний). 2. Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. 3. Амплитуда зависит от трения в системе (А зависит от d, а коэффициент затухания d, в свою очередь, зависит от коэффициента сопротивления r). Чем больше трение в системе, тем амплитуда вынужденных колебаний меньше. 4. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы w. Как? Исследуем функцию А(w).
·
При w = 0 (постоянная сила действует на колебательную систему) смещение тела неизменно с течением времени (надо иметь в виду то, что это относится к установившемуся состоянию, когда собственные колебания уже практически затухли). · При w ® ¥, то, как нетрудно видеть, амплитуда А стремится к нулю. · Очевидно, что при какой-то частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний примет наибольшее значение (для данного d). Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы носит название механического резонанса.
Найдем резонансную частоту wрез. Для этого найдем минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе дроби (2). Продифференцировав это выражение по w и приравняв к нулю, получим:
Интересно, что добротность колебательной системы в этом случае показывает во сколько раз резонансная амплитуда превышает смещение тела от положения равновесия под действием постоянной силы F0.
При больших значениях коэффициента затухания резонансные явления исчезают. Амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.
Нетрудно видеть, что сдвиг по фазе между силой и смещением зависит от трения в системе
При частотах внешней силы, существенно меньших собственной, смещение отстает по фазе от вынуждающей силы незначительно. При увеличении частоты внешней силы это запаздывание по фазе растет. При резонансе
|
р. Фонтанка Стенка L 
200 упала,
т.к. в проекте был принят 
= 22°,
а при дополнительных
ЕА 
исследованиях оказалось,
P
h 
***
Итак, тело, на которое действует вынуждающая сила, меняющаяся по гармоническому закону, совершает колебательное движение с частотой вынуждающей силы.
в рассматриваемом случае - это сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смещением тела от положения равновесия.
и частоты внешней вынуждающей силы 
. Эта зависимость показана на рисунке. Видно, что при 
тангенс принимает отрицательные значения, а при 
Зная зависимость 
от угла 
(если 
невелико) сдвиг по фазе становится равным 
. При 
