По заданной совокупности экспериментальных точек построить адекватную регрессионную модель и выполнить идентификацию ее параметров

4.4.1. Определите значения функциональной модели при значениях абсциссы, соответствующих значениям абсциссы экспериментальных точек.

4.4.2. Определите значение “невязок” для каждой экспериментальной точки и функциональной модели по формуле , где: Y _i – значение ординаты экспериментальной точки в соответствии с заданием. F(x _i ) – значение уравнения Y= F(x _i ) при значениях x _i, соответствующих значениям абсцисс экспериментальных точек.

4.4.3. Определите численное значение нормы Гаусса по формуле:

4.4.4. Определите численное значение нормы Чебышева по формуле

4.4.5. Постройте график, на котором нанесите функциональную модель, экспериментальные точки и рассчитанные в п. 4.2.2 “невязки”.

Пользуясь градиентным методом оптимизации. ручным расчетом выполнить один шаг в направлении оптимума заданной функции отклика модельной системы. Результат сопоставить с компьютерным расчетом, выполненным на лабораторном занятии.

4.5.1. Определите значение функции Z₀ в точке с координатами X₀. Y₀.

4.5.2. Определите частные производные функции Z по направлениям X, Y ( и ).

4.5.3. Определите значения полученных в п. 4.3.2 частных производных в точке с координатами X₀, Y₀ ( и ).

4.5.4. Определите вектор gradient в точке с координатами X₀, Y_0.

, подставив значения X₀. Y₀ необходимо записать уравнение вектора gradient таким образом, чтобы частные производные функции Z по и приняли численные значения.

4.5.5. Сделать шаг в направлении вектора gradient из точки с координатами X₀. Y₀ в направлении max или min в зависимости от задания. (Определить значения X₁. Y₁.)

Для выполнения этого пункта рассмотрим представленный ниже рисунок.

В системе координат xoy нарисован между точками ОА₂.

При этом отрезок OB₂ соответствует численному значению , а отрезок OC₂ соответствует численному значению . Рассмотрим случай, когда требуется сделать шаг в направлении вектора gradient на величину, равную l. Тогда координаты точки, в которую мы переместимся при выполнении шага, будут определяться следующими соотношениями: и .

Определим величину . Для этого рассмотрим треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂. Рассматриваемые треугольники являются подобными и. следовательно, справедливо следующее соотношение:

или .

Следовательно, .

Проведя аналогичный анализ для треугольников OA₁С₁ и OA₂С₂. получим:

В случае, когда в задании требуется выполнить шаг в направлении max, т.е. в направлении вектора gradient: и .

В случае, когда в задании требуется выполнить шаг в направлении min, т.е. в противоположном относительно направления вектора gradient: и .

4.5.6. Определите значение функции Z₁ в точке с координатами X₁. Y₁.

4.5.7. Сравните значения Z₀ и Z₁. сделайте вывод о правильности сделанного шага.