Краткий теоретический материал

Основные понятия теории множеств

Понятие множества относится к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Под понятием множества будем понимать любую определенную совокупность объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – прописными. Если объект является элементом множества , то используется обозначение: , если же объект не является элементом множества , то используется обозначение: .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Если множество состоит из элементов , то используется обозначение . В этом случае будем говорить, что множество задано перечислением его элементов.

Обозначения для некоторых, часто используемых, множеств:

 

 

– множество натуральных чисел;

 

 

– множество целых чисел;

– множество вещественных чисел.

Множество можно задавать и с помощью характеристического предиката. Например, множество рациональных чисел можно записать следующим образом:

 

.

 

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и обозначается .

Если каждый элемент множества является также элементом множества , то множество называется подмножеством множества и обозначается :

 

.

 

Приведем ещё одно определение равенства двух множеств и . Два множества и называются равными, если каждое из них являются подмножеством другого:

 

.