Свойства определенного интеграла

 

1. Свойства линейности

а) суперпозиции ,

б) однородности

Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)

2. Свойство аддитивности (по множеству)

Доказательство. Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму . Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен , первого слагаемого правой части , второго слагаемого правой части .

3. (свойство «ориентируемости» множества).

Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет

- . Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим .

4. . Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.

5. .

.

6. Если на отрезке , то .

 

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

7. Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

8.

.

9. (переменная интегрирования – «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)

Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.