Свойства определенного интеграла
1. Свойства линейности а) суперпозиции б) однородности Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.) 2. Свойство аддитивности (по множеству)
Доказательство. Пусть 3. Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет
4. 5.
6. Если на отрезке
Так как 7. Если на отрезке Так как 8.
9. Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.
|
,
. Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения 
. Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму 
. Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при 
левой части равенства интегральных сумм равен 
, первого слагаемого правой части 
, второго слагаемого правой части 
.
(свойство «ориентируемости» множества).
- 
. Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим 
. Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.
.
.
, то 
.
. Переходя к пределу, получим 
, то 
.
на отрезке, то 
. Переходя к пределу, получим 
.
(переменная интегрирования – «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)
