Основные положения. Математическая статистика – это раздел математики, посвященный математическим методам систематизации

Математическая статистика – это раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования данных, полученных в результате экспериментов, опытов или наблюдений для научных и практических выводов, т.е. математическая статистика рассматривает методы сбора, анализа и обработки статистических данных.

Статистические данные – это данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений.

Математическая статистика делится на описательную и аналитическую статистику.

Описательная статистика позволяет описывать, подытоживать и воспроизводить в виде таблиц или графиков данные того или иного распределения, вычислять среднее для данного распределения, его размах и дисперсию. Об этом частично шла речь в предыдущем разделе.

Аналитическую статистику еще называют теорией статистических выводов. Предметом аналитической статистики является обработка данных, полученных в ходе эксперимента. Формулировка выводов, имеющих прикладное значение.

Чтобы понять роль математической статистики, например, в области физкультуры и спорта, рассмотрим схему педагогического эксперимента в спорте. Например, тренер, занимающийся исследованиями в конкретной области физкультуры, предложил новую методику подготовки спортсменов. Для этого он должен провести эксперимент, результаты которого доказали бы правильность его методики. Схема эксперимента такова; набираются две группы испытуемых контрольная и экспериментальная, причем одинаковые по всем факторам. Контрольная группа готовится по традиционной методике, а экспериментальная – с применением прилагаемых нововведений. Через определенное время проводится контрольное обследование и по его результатам делают выводы об эффективности предлагаемой методики.

Где же в этом эксперименте используются методы математической статистики? Методы математической статистики используются, во-первых, при отборе спортсменов в контрольную и экспериментальную группы (численность групп, уровень подготовки в обеих группах и т.д.), во-вторых, после проведения контрольных наблюдений тренер получает большой объем числовых данных, которые нужно обработать. В этом случае используются методы описательной статистики, позволяющие представить полученные данные в более наглядной форме и получить некоторые обобщающие показатели. В качестве обобщающих числовых показателей используются средние значения и характеристики варьирования (рассеяния) экспериментальных данных. Получив эти показатели для контрольной и экспериментальной групп, тренер видит, что они различны. Возникает вопрос: насколько достоверны эти различия? Здесь не обойтись без применения математических методов проверки статистических гипотез. Очень часто целью исследования является установление наличия и степени связи между спортивным результатом в одном и другом видах спорта и определенными показателями тренированности, между силой мышц и скоростью их сокращения, между спортивными достижениями в одном и другом видах спорта и т. п. Подобные задачи решаются методами корреляционного регрессивного анализа, о которых пойдет речь позже.

Введем основные понятия, полезные для математической обработки экспериментальных данных.

Экспериментальные данные в какой-либо области обычно представляют собой результаты измерения некоторых признаков, объектов, выбранных из большой совокупности объектов.

Выборка – это часть объектов исследования, определенным образом выбранная из более обширной совокупности.

Генеральная совокупность (популяция) – это исходная совокупность, из которой взята выборка.

Если рассматривать, студентов ВУЗА, как генеральную совокупность, то студенты, например, 1-го курса – выборка из более широкой генеральной совокупности.

Объектами исследования, составляющими генеральную совокупность, например, в спорте являются спортсмены, которые должны иметь хотя бы один общий признак (пол, возраст и т.д.).

Наличие общего признака является основой для образования статистической совокупности. Если статистическая совокупность получается в результате выборочного исследования, то она называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числовые значения варьирующего (изменяющего) признака называют вариантами.

Вариационный рядом выборки называется способ записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину и непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Медианой выборки называется элемент, находящийся в середине вариационного ряда.

Если в вариационном ряде четное количество элементов, то медиана вычисляется как среднее арифметическое двух элементов, стоящих в середине вариационного ряда.

Размахом выборки называется разность между максимальным и минимальным элементами выборки.

Если элемент x_i встречается в выборке n_i раз, то n_i называется частотой элемента x_i.

Статистическим рядом выборки называется таблица, в первой строке которой записаны все различные варианты выборки, а во второй – их частоты.

Модой выборки называется элемент, встречающийся чаще других.

Если все элементы выборки встречаются одинаковое количество раз, то моды нет. Если два различных элемента имеют максимальную частоту, то моды две, а выборка называется бимодальной.

Пример: Получены следующие результаты контрольной работы в классе N: 3, 5, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 4, 4, 2, 5, 4, 5, 4. Охарактеризуем выборку.

Объем выборки: 15.

Размах выборки: 5 – 2 = 3.

Вариационный рад: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Мода: 4.

Медиана: 4.

Статистический ряд:

 

Размах, дисперсию и стандартное отклонение называют мерами изменчивости. Моду, среднее арифметическое и медиану называют мерами центральной тенденции.

По одним признакам элементы могут совпадать полностью (пол, возраст, вид спорта и т.д.), а по другим не совпадать (сила мышц, быстрота реалии, показатели систем дыхания, кровообращения и т.д.). Изменяющиеся признаки и являются предметом изучения в статистики. Они делятся на качественные и количественные.

Качественные признаки – это признаки, которыми объект обладает либо не обладает. Они не поддаются непосредственному измерению (национальность, квалификация, пол и т. п.) и представляют свойства элементов выборки.

Количественные признаки – это результаты измерений или подсчета. Они делятся на дискретные и непрерывные. Дискретные признаки могут принимать лишь отдельные значения из некоторого ряда чисел. Примером дискретных признаков могут быть число подтягиваний на перекладине, число попаданий в мишень при серии выстрелов и т. п. Непрерывные признаки могут принимать любые значения в определённом интервале. Примером непрерывных признаков могут быть скорость движения, угол в суставе, время прохождения дистанции и т.п.

Не все признаки можно контролировать в процессе исследования.

К числу контролируемых факторов относятся пол, возраст, квалификация и т. п.

К числу не контролируемых факторов можно отнести влияние погодных условий, эмоциональное состояние испытуемых и т. п. Такие факторы называют случайными.