Понятие случайной величины
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. Обычно рассматриваются два типаслучайных величин: дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из дискретного множества значений. Примеры дискретных величин: число подтягиваний на перекладине, число попаданий в кольцо из 10 штрафных бросков и т.п. Вероятность принятия дискретной случайной величины может быть записана так: Р[ Х =х i] = pi, I = …,-1, 0, 1, …, где Х – случайная величина, х i – конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной, pi – вероятность этих значений, i – индекс. Функция Р[ Х =х i], связывающая знание дискретной случайной величины, с их вероятностями, называется её распределением (законом распределения). Дискретная случайная величина обычно задаётся рядом распределения – таблицей, в которой указаны все возможные значения Х i случайной величины и соответствующие им вероятности рi.
Так как случайная величина обязательно принимает какое-либо из этих значений, то р 1+ р 2 + р 3 +... + рn = 1. Графически ряд распределения выражается так называемым многоугольником распределения. Примеры: 1. В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 4 выигрыша по 500 руб., 5 выигрышей по 400 руб. и 10 выигрышей по 100 руб. Построить ряд распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Решение: Случайная величина х (стоимость возможного выигрыша) может принимать следующие значения: х 1 = 1000; х 2 = 500; х 3 = 400; х 4 = 100; х 5 = 0. Вероятности этих возможных значений соответственно равны: р 1 = 0,001; р 2 = 0,004; р 3 = 0,005; р 4 = 0,010; р 5 =1 – (р 1+ р 2 + р 3+ р 4), р 5 =1 – 0,020 = 0,980. Ряд распределения будет иметь вид:
Построим многоугольник распределения.
2. Есть ящик с 3 шарами, из которых 2 белых и 1 чёрный. Вынули 2 шара. Случайная величина – число вынутых белых шаров. Составить ряд распределения этой случайной величины. Решение: Так как в ящике из 3 шаров только 1 чёрный, то среди вынутых шаров обязательно будет хотя бы 1 белый. То есть случайная величина может принимать значения 1 или 2. Один белый из двух вынутых шаров – это 1 белый и 1 чёрный или 1 чёрный и 1 белый. Тогда р (1) = р (2) = Так как все события исчерпаны, то сумма рi должна быть равна 1. Действительно, . Следующая таблица задаёт закон распределения случайной величины (ряд распределения):
Непрерывная случайная величина в результате испытания может принимать любые значения из некоторого интервала. Непрерывная случайная величина может быть задана либо функцией распределения – F (x), либо плотностью вероятности Р (х); Р (х) = F ’ (x). Примеры непрерывных случайных величин: дальность полёта снаряда при данных условиях стрельбы, спортивный результат в беге или в прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение меньше данного х, т.е. F(x) = Р[Х ≤ х]. Из определения следует, что функция распределения F (x) – неубывающая и изменяется от 0 до 1. Зная функцию распределения величины Х, можно вычислить вероятность того, что Х (x 1, x 2) по формуле (*) Р [ x 1< Х<x 2] = F (x 2) – F (x 1), т.е. вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал равен разности значений функции распределения этой случайной величины вычисленных в конце и начале интервала. Примеры: 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением: F (x) = а) построить график функции F (x), b) найти вероятность попадания случайной величины Х в (0,25; 0,5). Решение: а)
b) По формуле (*) находим: Р [0,25< Х <0,5] = F (0,5) - F (0,25) = (0,5)2 – (0,25)2 = 0,25 – 0,0625 = 0,1875. Для дискретной случайной величины можно также строить функцию распределения F (x). В этом случае она будет представлять собой разрывную функцию. Функция распределения строится по следующему правилу: F (x) = 0 при х < x 1, F (x) = p 1 при x 1 ≤ х < x 2, F (x) = p 1 + p 2 при x 2 ≤ х < x 3, F (x) = p 1 + p 2 + p 3 при x 3 ≤ х < x 4, ………………………………………………… F (x) = p 1 + p 2 + p 3 +... + p n при х ≥ x n. 2. Построить функцию распределения F (x) для дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения. Решение: F (x) = 0, при х <0, F (x) = p 1 = 0,0256, при 0≤ х <1, F (x) = p 1 + p 2 =0,1792, при 1≤ х < 2, F (x) = p 1 + p 2 + p 3 = 0,5248, при 2≤ х < 3, F (x) = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 0,8704, при 3≤ х <4, F (x) = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1, при х ≥ 4. Итак, имеем функцию распределения: F (x) = Построим график функции распределения: F (x) 0,9
0,5
0,2
0 1 2 3 4 x Как видим, функции распределения F (x) остаётся постоянной на интервалах между значениями х i, которые может принимать случайная величины Х. И только в точках х i функция скачком меняет своё значение на величину, равную вероятности Р [ Х = х i], т.е. функции распределения случайной величины является ступенчатой. Это свойство является общим для всех дискретных случайных величин.
|