Равносильность при тождественных преобразованиях

 

При замене одного уравнения другим, более простым часто приходится выполнять тождественные преобразования. Всегда ли при выполнении тождественных преобразований получим уравнение, равносильное данному.

 

Пусть дано уравнение

= , (1)

с множеством допустимых значений неизвестных После выполнения тождественных преобразований в одной или в обеих его частях получили уравнение

= , (2)

с множеством допустимых значений неизвестных Если при этом:

1) то уравнения (1) и (2) равносильны.

2) - множество допустимых значений " расширилось ", тогда уравнение (2) может иметь посторонние для уравнения (1) корни, принадлежащие множеству если таких решений не окажется, то уравнения (1) и (2) равносильны.

3) - множество допустимых значений " сузилось";, тогда в множестве решений уравнения (2) могут не войти решения уравнения (1), принадлежащие множеству если потери решений не произойдет, тогда уравнения (1) и (2) равносильны.

4) с одной стороны, обогащается новыми значениями, а с другой стороны, теряет некоторые из них, тогда уравнение (2) может быть неравносильно уравнению (1) как в силу потери корней, так и приобретения решений, посторонних для уравнения (1).

 

Примеры нарушения равносильности уравнений, вызванных тождественными преобразованиями.

1) (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений уравнения (1):

или

Область допустимых значений уравнения (2):

см. рис. 1.

Рис. 1

 

Тождественное преобразование расширило область допустимых значений - множество значит возможно появление посторонних корней.

Проверим это. Уравнение (1) и (2) имеют корни

Уравнению (1) удовлетворяет только один корень

Уравнению (2) удовлетворяют два корня Причем принадлежит множеству , т. е. как раз тому множеству, на которое расширилось множество Таким образом, в результате тождественных преобразований, произошло расширение области допустимых значений переменной x и появился посторонний корень.

 

 

Обратите внимание на ниже приводимый пример!

В таких примерах абитуриенты и учащиеся очень часто допускают ошибки!

 

2) (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений при тождественном преобразовании "сузилась", поэтому возможна потеря корней. Проверим, так ли это.

Первое уравнение имеет корни:

Второе уравнение имеет один корень:

Мы получили неравносильные уравнения, причем "потерян" один корень, который как раз и принадлежит разности множеств:

 

Ответ: уравнения не равносильны.

 

3) (1) (2)

(3)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

 

 

Систему неравенств решим методом промежутков (см. рис. 2):

Рис. 2

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений третьего уравнения:

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) область допустимых значений сузилась, при переходе от уравнения (2) к уравнению (3) область допустимых значений расширилась. Возможна потеря корней в первом случае и появление посторонних при переходе от уравнения (2) к уравнению (3).

Проверим равносильность уравнений.

Уравнение (1) имеет корни:

Уравнение (2) не имеет корней. Уравнение (3) имеет один корень:

Сразу можно сказать, что уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 

Вывод

 

При решении уравнений необходимо следить за изменением множества допустимых значений неизвестного. В случае расширения его следует проверять, не является ли найденное решение посторонним для данного уравнения. В случае сужения необходимо убедиться, не являются ли выпавшие значения неизвестных решениями данного уравнения. Задача нахождения потерянных решений не всегда легко выполнима, поэтому желательно избегать тождественных преобразований, ведущих к сужению множества допустимых значений неизвестных уравнения.

 

Примеры. Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?

9. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

 

 

Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел:

Произошло расширение области допустимых значений первого уравнения, поэтому возможно появление посторонних корней.

Первое уравнение не имеет корней, так как

Второе уравнение имеет корень:

При расширении области допустимых значений появился посторонний корень

Уравнения не будут равносильными.

 

Ответ: не равносильны.

 

10. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел:

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, значит возможно появление посторонних корней. Проверим это.

Первое уравнение имеет корень:

Второе уравнение имеет корень:

Посторонние корни не появились - уравнения равносильны.

 

Ответ: равносильны.

 

11. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел:

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась - возможно появление посторонних корней.

Первое уравнение имеет один корень:

Второе уравнение имеет два корня:

Появился посторонний корень:

 

Ответ: не равносильны.

12. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений первого уравнения сузилась, возможна потеря корней. Проверим это.

Первое уравнение имеет два корня:

Второе уравнение имеет один корень:

Произошла потеря корня

Уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

 

13. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения:

Области допустимых значений равны: , значит уравнения равносильны. В самом деле, первое уравнение имеет два корня:

Второе уравнение имеет корни:

 

Ответ: равносильны.

 

14. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения находится как решение совокупности двух систем неравенств:

Область допустимых значений второго уравнения находится из одной системы неравенств:

Область допустимых значений сузилась, а поэтому возможна потеря корней, значит уравнения могут быть не равносильны.

 

Ответ: могут быть не равносильны.

 

15. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения - множество всех действительных чисел:

Область допустимых значений второго уравнения найдем из решения системы неравенств (см. рис. 3):

Рис. 3

Получим множество:

Область допустимых значений сузилась, поэтому возможна потеря корней.

Первое уравнение имеет один корень:

Второе уравнение не имеет корней. Значит, уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 

16. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения найдем из решения системы неравенств:

Область допустимых значений второго уравнения найдем из решения неравенства методом промежутков (см. рис. 4).

 

Рис. 4

Получим множество:

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, поэтому возможно появление посторонних корней. Проверим это.

Первое уравнение имеет один корень:

Второе уравнение имеет два корня:

Появился посторонний корень

Значит, уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.