Дробно-рациональные уравнения. Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить дробно-рациональное уравнение целым алгебраическим уравнением

 

Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить дробно-рациональное уравнение целым алгебраическим уравнением. Надо помнить, что мы производим преобразования, которые могут привести к появлению посторонних корней. Отбор посторонних корней можно производить или путем сопоставления с множеством допустимых значений неизвестного, или путем проверки корней.

Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел.

 

Решение

 

Область допустимых значений неизвестного - множество всех действительных чисел, так как у квадратного трехчлена отрицательный дискриминант , то оно не обращается в нуль ни при каких значениях x.

Данное уравнение равносильно уравнению

Введем новое неизвестное , тогда

Получим уравнение

Подставляя значения y, получим два квадратных уравнения:

Эти корни будут решениями данного уравнения.

 

Ответ:

 

Пример 2.

Решение

 

Область допустимых значений неизвестного:

Умножим обе части уравнения на (заметим, что это выражение обращается в нуль при но оно не входит в область допустимых значений).

После умножения, получим уравнение: откуда

Значение не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

 

Ответ: корней нет.

 

Пример 3.

 

Решение

 

Область допустимых значений неизвестного найдем из решения системы неравенств:

Умножим обе части уравнения на , которое обращается в нуль при и которые не входят в область допустимых значений.

Получим уравнение:

и является посторонним корнем.

 

Ответ:

 

Пример 4.

 

Решение

 

Область допустимых значений неизвестного найдем из решения системы неравенств:

 

 

Умножим обе части уравнения на получим уравнение:

 

 

и является посторонним корнем.

 

Ответ: