Дробно-рациональные уравнения. Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить дробно-рациональное уравнение целым алгебраическим уравнением
Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить дробно-рациональное уравнение целым алгебраическим уравнением. Надо помнить, что мы производим преобразования, которые могут привести к появлению посторонних корней. Отбор посторонних корней можно производить или путем сопоставления с множеством допустимых значений неизвестного, или путем проверки корней. Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел.
Решение
Область допустимых значений неизвестного - множество всех действительных чисел, так как у квадратного трехчлена отрицательный дискриминант , то оно не обращается в нуль ни при каких значениях x. Данное уравнение равносильно уравнению Введем новое неизвестное , тогда Получим уравнение Подставляя значения y, получим два квадратных уравнения: Эти корни будут решениями данного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решение
Область допустимых значений неизвестного: Умножим обе части уравнения на (заметим, что это выражение обращается в нуль при но оно не входит в область допустимых значений). После умножения, получим уравнение: откуда Значение не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.
Ответ: корней нет.
Пример 3.
Решение
Область допустимых значений неизвестного найдем из решения системы неравенств: Умножим обе части уравнения на , которое обращается в нуль при и которые не входят в область допустимых значений. Получим уравнение: и является посторонним корнем.
Ответ:
Пример 4.
Решение
Область допустимых значений неизвестного найдем из решения системы неравенств:
Умножим обе части уравнения на получим уравнение:
и является посторонним корнем.
Ответ:
|