Теоремы о равносильности уравнений

 

При решении уравнений выполняются преобразования, основанный на теоремах о равносильности уравнений.

 

Теорема 1. Уравнения

= (1)

и

= (2)

равносильны, если функция определена на множестве всех допустимых значений неизвестных уравнения (1).

 

Замечание. Если определена не при всех допустимых значениях неизвестных уравнения (1) и теряет смысл при каких-либо системах значений неизвестных, являющихся решением уравнения (1), то при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойдет потеря корней.

 

Примеры: 1) Дано уравнение которое имеет только один корень

а) прибавим к обеим частям уравнения функцию теряющую смысл при . Получим уравнение не равносильное данному, так как не является его корнем.

б) Прибавим к обеим частям уравнения функцию теряющую смысл при

Получим уравнение равносильное данному, так как оно тоже имеет только один корень

2) Дано уравнение областью допустимых значений неизвестного является множество всех действительных чисел .

Уравнение имеет два корня: и

Прибавим к обеим частям данного уравнения функцию область определения которой

Получим уравнение не равносильное данному, так как не является его корнем.

 

Теорема 2. Уравнения

= (1)

и

= (2)

равносильны, если функция определена и отлична от нуля на множестве всех допустимых значений неизвестных уравнения (1).

 

Замечание. Если условия теоремы, касающиеся функции , не выполняются, то уравнение (2) может быть не равносильно уравнению (1). Может произойти потеря решений, если теряет смысл при каких-либо системах значений неизвестных, являющихся решениями уравнения (1).

Уравнение (2) может иметь посторонние решения для уравнения (1), если при некоторых допустимых системах значений неизвестных равна нулю, но эта система значений неизвестных не является решением уравнения (1).

Примеры. Дано уравнение множеством допустимых значений x является множество всех действительных чисел Уравнение имеет два корня: и

а) Умножим обе части данного уравнения на теряющую смысл при и Получим уравнение не равносильное данному, так как оно имеет только один корень Умножение обеих частей данного уравнения на привело к потере корня .

б) Умножим обе части данного уравнения на теряющую смысл при Получим уравнение равносильное данному, так как оно имеет два корня: и

в) Умножим обе части данного уравнения на обращающуюся в нуль при Получим уравнение не равносильное данному, так как оно имеет три корня: , и

Умножение обеих частей данного уравнения на привело к появлению постороннего корня

 

Равносильны ли уравнения на множестве действительных чисел?

 

Пример 1. (1) и (2).

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет один корень .

К обеим частям этого уравнения прибавляется функция , которая определена также при всех действительных значениях x, значит она не изменяет область определения уравнения (1), а поэтому получается уравнение (2) равносильное уравнению (1), имеющее также один корень . Уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

 

Пример 2. (1) и (2).

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет один корень .

К обеим частям уравнения (1) прибавляется функция , областью определения которой является множество , в которое входит корень первого уравнения. Поэтому, несмотря на сужение области допустимых значений уравнения (1), получается равносильное уравнение, имеющее также один корень .

Ответ: равносильны.

 

Пример 3. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет два корня: и . К его обеим частям прибавляется функция , которая имеет область определения и теряет смысл при , который является корнем первого уравнения, а поэтому второе уравнение имеет только один корень , а значит уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

 

Пример 4. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет один корень: .

К обеим частям уравнения прибавляется функция , которая определена на множестве:

.

Область допустимых значений первого уравнения сузилась настолько, что корень первого уравнения не входит в это множество и не является корнем второго уравнения, значит уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 

Пример 5. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет один корень: .

Обе части уравнения умножаются на функцию , которая также определена на множестве всех действительных чисел и при не обращается в нуль, значит получим уравнение (2) равносильное уравнению (1).

 

Ответ: равносильны.

 

Пример 6. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет два корня: и . Обе части уравнения умножаются на функцию , которая имеет область определения и, несмотря на то, что не обращается в нуль при и , но теряет смысл при , а поэтому второе уравнение имеет только один корень , а значит уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 

Пример 7. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет два корня: и . Обе части уравнения умножаются на показательную функцию , которая имеет область определения - множество всех действительных чисел и, более того, она положительна при всех x из области определения и ни при каких значениях x не равна нулю, поэтому второе уравнение также имеет два корня и , а значит уравнения равносильны.

 

Ответ: равносильны.

 

Решение этого примера можно распространить на более общий случай:

(1) и (2)

Функция положительна при всех x из области определения функции если к тому же функция определена при значениях корней уравнения (1), тогда уравнения (1) и (2) равносильны. Если функция не определена при значении хотя бы одного из корней уравнения (1), тогда уравнения (1) и (2) не равносильны.

 

Пример 8. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество:

Оно имеет один корень

Обе части первого уравнения умножаются на функцию которая определена при всех значениях z из множества действительных чисел и не обращается в нуль при , которое является корнем уравнения (1), поэтому уравнение (2) имеет один корень . Уравнения (1) и (2) равносильны.

 

Ответ: равносильны.

 

Пример 9. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество:

Оно имеет один корень:

Обе части первого уравнения умножаются на функцию которая определена при всех значениях x из множества действительных чисел , и не обращается в нуль при , которое является корнем уравнения (1). Но в результате такого умножения произошло расширение области допустимых значений уравнения (1) и возможно появление посторонних корней. Проверим это. Уравнение (2) имеет два корня . Поэтому уравнения (1) и (2) не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 

Пример 10. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет один корень: .

Обе части первого уравнения умножаются на функцию которая определена при всех значениях x из множества действительных чисел , и не обращается в нуль при , которое является корнем уравнения (1). Значит область допустимых значений уравнения (1) не изменилась. Остается проверить корни уравнения (2) - оно имеет один корень - , значит уравнения равносильны.

 

Ответ: равносильны.

 

Пример 11. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет один корень: .

Уравнение (2) получается возведением обеих частей уравнения (1) в четную - 4-й степень. Область допустимых значений не изменилась, уравнение (2) определено на множестве всех действительных чисел:

Посмотрим какие корни оно имеет? Для этого надо из обеих частей уравнения (2) извлечь корень 4-й степени, тогда получим:

 

 

Чтобы решить последнее уравнение, установим точки, при которых каждое из выражений под модулем обращается в нуль, получим три промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 5):

Рис. 5

При получим уравнение , . Но не входит в промежуток значит не является корнем уравнения.

При получим уравнение входит в промежуток значит является корнем уравнения.

При получим уравнение , . входит в промежуток значит является корнем уравнения.

Таким образом, уравнение (2) имеет два корня и .

Следовательно, при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней.

Ответ: уравнения не равносильны.

 

Пример 12. (1) и (2)

 

Решение

 

Если k - нечетное число, тогда уравнения равносильны, если k - четное число, то, вообще говоря, не равносильны, ибо второе уравнение примет вид:

или и , т. е. распадается на два уравнения. Только в том случае, если уравнение , по каким-то причинам не будет иметь корней, мы можем получить равносильные уравнения.

 

Ответ: при k нечетном - равносильны, при k четном - не равносильны.

 

Пример 13. (1) и . (2)

 

Решение

 

Областью допустимых значений первого уравнения является множество всех действительных чисел Оно имеет два корня: .

Второе уравнение получается из первого извлечением квадратного корня из обеих частей первого уравнения. В результате область допустимых значений сузилась и стала:

Однако, корни уравнения остались теми же, второе уравнение имеет тоже два корня: и потому, уравнения равносильны.

 

Ответ: равносильны.

 

Пример 14. (1) и . (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения определяется системой неравенств:

 

Область допустимых значений второго уравнения определяется совокупностью систем неравенств:

 

Уравнения могут быть равносильны, если выполняется система неравенств:

 

 

Ответ: равносильны, если

 

Пример 15. При каком условии уравнения

 

(1) и (2)

 

равносильны?

Решение

 

Если тогда уравнения будут иметь одинаковые области допустимых значений и будут равносильны.

 

Ответ: если тогда уравнения равносильны.

 

Пример 16. Будут ли равносильны уравнения на множестве действительных чисел

(1) и (2)?

 

Решение

 

Область допустимых первого уравнения - множество:

Оно имеет два корня: и

Область допустимых значений второго уравнения находим из решения системы неравенств:

Область допустимых значений изменилась, поэтому возможна как потеря корней, так и появление посторонних корней.

Найдем решения уравнения (2). Оно имеет только один корень:

Уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.