Аналитическое решение. Преобразуем уравнение, умножив обе его части на 2, будучи положительным числом, его можно вносить под знак модуля

Преобразуем уравнение, умножив обе его части на 2, будучи положительным числом, его можно вносить под знак модуля, поэтому получим:

 

У каждого из трехчленов положительные дискриминанты. Это дает возможность разложить каждый из них на линейные множители.

Уравнение примет вид:

На числовой прямой (см. рис. 41) отложим точки, в которых каждый из множителей обращается в нуль. В результате получим пять промежутков, на каждом из которых определим знаки трехчленов под модулем и решим полученные уравнения.

 

Рис. 41

Однако такой способ не будет рациональным. Целесообразнее изобразить промежутки знакопостоянства каждого из трехчленов на числовых осях. Тогда определение их знаков будет упрощено и сделается более наглядным (см. рис. 42).

 

Рис. 42

 

При таком схематическом изображении понятно, что:

1) при оба трехчлена положительны и уравнение примет вид:

 

Решая его, находим Оба корня не входят в промежуток и являются посторонними;

2) при первый трехчлен отрицателен, а второй положителен, получим уравнение: откуда находим корень который входит в промежуток и является решением уравнения;

3) при оба трехчлена отрицательны, получаем:

откуда который входит в промежуток и является решением уравнения;

4) при первый трехчлен положителен, второй - отрицателен, получаем уравнение:

отсюда, который входит в промежуток и является решением уравнения;

5) при оба трехчлена положительны, получается такая же ситуация, как и в первом случае. И здесь, оба корня не входят в промежуток и являются посторонними.

 

Ответ:

 

Графическое решение

 

Для графического решения преобразуем уравнение:

 

 

Построим графики функций и

 

График функции будем строить в несколько этапов:

 

а) строим график функции

 

б) строим график функции "зеркально" отразив нижнюю часть кривой в оси OX;

 

в) строим график функции для этого достаточно график функции "опустить" вниз (осуществить параллельный перенос вдоль оси OY) на

 

г) полученный график полностью симметрично отразим в оси OX, "перевернем" вокруг оси OX на 180⁰.

В результате получим график функции.

 

График функции построим уже известным способом:

 

строим параболу и зеркально отражаем в оси OX только часть параболы, находящуюся ниже оси OX.

 

Находим абсциссы точек пересечения графиков, которые и будут являться решениями уравнения (см. рис. 43).

 

Рис. 43

 

Абсциссы точек пересечения следующие: 1,75; 2,5 и 3,25. Они и будут решениями уравнения.

 

Ответ:

 

Пример 24. Найти все корни уравнения удовлетворяющее неравенству Решить аналитически и графически.

 

Решение