Аналитическое и графическое решение квадратных уравнений, содержащих модули

 

Пример 20. Решить уравнение

 

Решение

Аналитическое решение

Й способ

Преобразуем уравнение Поскольку при любых значениях x из множества действительных чисел, тогда получим совокупность двух уравнений: (1) и (2)

Решим каждое из уравнений:

(1) (2)

 

Й способ

Данное уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:

(1)

(2)

Й способ

Положим тогда, получим уравнение которое имеет два корня Имеем совокупность двух уравнений:

 

Ответ:

 

Графическое решение

Идея графического решения уравнения заключается в следующем: построить график функции и найти координаты точек пересечения графика с осью OX.

Построить график функции можно, учитывая, что функция - четная. В самом деле: Учитывая это, достаточно построить график для значений т. е., а затем построить симметричную кривую относительно оси OY.

Можно поступить иначе, построить график для случая а затем для

Мы применим первый способ. Строим график для

Графиком этой функции является парабола (см. рис. 36), ветви которой направлены вверх (a = 1 > 0), с вершиной в точке с координатами:

 

C(3; -1).

 

Дополнительные точки для построения графика:

x
y

 

 

Рис. 36

 

Находим точки пересечения с осью OX: -4, -2, 2, 4.

 

Ответ:

 

Пример 21. Решить аналитически и графически уравнение

 

Решение

 

Аналитическое решение

 

Й способ

 

Поскольку при всех тогда, по определению абсолютной величины, получим совокупность двух уравнений:

 

(1) и (2)

 

Решим каждое из уравнений:

(1),

(2)

Таким образом, получаем три корня:

 

Й способ

Найдем значения x, при котором модуль обращается в нуль:

 

Рис. 37

 

Получим два промежутка (см. рис. 37), на каждом из которых решим уравнение, получим две смешанные системы:

 

(1) Оба корня входят в промежуток и являются корнями уравнения:

 

(2) не входит в промежуток, входит в промежуток.

Й способ

 

Положим тогда получим уравнение которое имеет два корня Будем иметь совокупность двух уравнений: и

 

Ответ:

 

Графическое решение

 

Строим графики функций и, находим абсциссы их точек пересечения, которые будут являться решениями уравнения.

Для построения графика функции строим прямую и часть прямой, находящуюся ниже оси OX симметрично "отражаем" в оси OX.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (1,5; 0). Парабола пересекает ось OY в точке (0; 9).

Для более точного построения параболы можно выбрать еще несколько дополнительных точек (см. рис. 38).

 

Рис. 38

Ответ:

 

Пример 22. Решить аналитически и графически уравнение

 

 

Решение

 

Аналитическое решение