Решение. Уравнение имеет корни, если отсюда находим:

Уравнение имеет корни, если отсюда находим:

Преобразуем уравнение к приведенному:

По теореме Виета: и, по условию:

Получим систему уравнений:

 

решая первые два уравнения находим: Подставляя эти значения в третье уравнение, определим m: m = 15. Теперь надо установить, удовлетворяет ли это значение m первоначальному условию, когда уравнение вообще имеет корни, т. е. условию:

Убеждаемся, что удовлетворяет, в самом деле:

Ответ: m = 15.

 

Пример 10. Найти условие, при котором разность корней уравнения равна m:

 

 

Решение

 

Заведомо надо учесть, что для существования корней уравнения дискриминант должен быть неотрицателен, т. е. должно выполняться неравенство:

 

Пусть и - корни уравнения, тогда, по условию:

С другой стороны, по теореме Виета:

Получим систему, состоящую из трех уравнений:

 

Из первых двух уравнений выразим и через m и p:

 

Подставим эти значения в третье уравнение и найдем:

 

Поскольку при тогда неравенство выполняется.

 

Ответ:

 

Пример 11. Найти условие, при котором разность квадратов корней уравнения равна

 

Решение

 

Мы допускаем, что уравнение имеет корни, а значит

Пусть и - корни заданного уравнения, тогда, по условию:

Преобразуем уравнение к приведенному, полагая, что:

Отсюда, по теореме Виета,

Получим систему трех уравнений:

 

Чтобы выполнялось первое равенство, потребуем, чтобы.

Из первых двух уравнений находим:

Подставляя в третье уравнение, получим:

 

Ответ:

 

Пример 12. При каком значении k один корень уравнения вдвое меньше другого:

 

 

Решение

 

1. Первый коэффициент уравнения не должен равняться нулю, иначе уравнение "вырождается" в линейное и задача теряет смысл, значит,

 

2. Чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:

 

3. Допустим, что это условие выполняется, т. е. D > 0 и уравнение имеет два различных действительных корня. Обозначим их и.

Тогда, по условию:

Преобразуем уравнение к приведенному, получим:

 

По теореме Виета

 

Получим систему уравнений

 

Решим два первых уравнения и выразим из них и.

 

Подставим значения и в третье уравнение, получим:

 

Ясно, что при этом значении k первый коэффициент данного уравнения не равен нулю.

Выясним, будет ли при этом значении k положителен дискриминант. Для этого подставим значение k в формулу дискриминанта и установим знак результата:

 

 

Ответ: при

 

Пример 13. Дано уравнение корни которого и. Составить новое квадратное уравнение, корни которого были бы и

 

Решение

 

Так как данное уравнение имеет корни, тогда его первый коэффициент отличен от нуля, а дискриминант неотрицателен:

Так как и корни заданного уравнения, тогда, по теореме Виета, их сумма и произведение равны:

Чтобы составить новое квадратное уравнение, надо воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета, а для этого необходимо найти сумму и произведение корней нового квадратного уравнения и полученные формулы выразить через сумму и произведение корней данного уравнения.

Пусть корни искомого уравнения и тогда искомым уравнением будет:

 

По условию:, а

Выразим сумму и произведение чисел и через сумму и произведение и.

 

 

Подставляя значения вместо суммы и произведения и в полученные равенства, находим для корней искомого уравнения:

 

Теперь можно составить искомое уравнение:

 

Ответ: