Знаки корней приведенного квадратного уравнения

Если свободный член q приведенного квадратного уравнения больше нуля, q>0, то оба корня имеют одинаковые знаки, либо оба положительны, либо оба отрицательны.

В самом деле, если и , тогда но значит если и тогда снова а значит, и в этом случае Нетрудно доказать и обратное утверждение.

Если к тому же, второй коэффициент имеет отрицательный знак (p < 0), то оба корня положительны, в противном случае, (при p > 0) оба корня отрицательны.

Если свободный член приведенного квадратного уравнения - отрицателен (q<0), тогда корни имеют разные знаки, что нетрудно доказать, подобно предыдущему.

Но здесь любопытно другое! Можно установить, который из корней имеет отрицательный знак, а какой - положительный.

Для этого достаточно обратиться к знаку второго коэффициента p. Если его знак отрицательный, значит больший по модулю корень, будет положительным, а меньший по модулю корень - отрицательный знак. Если знак второго коэффициента положительный, тогда больший по модулю корень будет отрицательным, а меньший положительным.

Доказательство этого факта предоставим читателю.

Примеры: а) б)

в) г)

В уравнении а) свободный член (12) положителен, значит, оба корня имеют одинаковые знаки. Второй коэффициент (-7) отрицателен, значит, оба корня положительны.

В самом деле, и

В уравнении б) свободный член положителен и второй коэффициент положителен, значит оба корня отрицательны.

Нетрудно проверить, что и

В уравнении в) свободный член отрицателен (-12), значит, корни имеют разные знаки, а поскольку второй коэффициент также отрицателен (-1), тогда больший по модулю корень будет положительным, а меньший по модулю - отрицателен.

Найдем корни и убедимся в этом: