Решить уравнения на множестве действительных чисел

 

Пример 17.

 

Решение

Рассмотрим коэффициент при, который равен

1. Если что происходит при и тогда квадратное уравнение " вырождается " в линейное.

При, получаем при

2. Если тогда находим дискриминант и исследуем уравнение по дискриминанту.

D = 0 при

Если то уравнение имеет единственное решение

 

 

Если тогда уравнение имеет решение

 

 

Если и тогда дискриминант будет положительным и уравнение будет иметь два различных действительных корня

 

Ответ:

1. Если a = 0, x = 0. 2. Если a = -1, x = 2. 3. Если тогда

4. Если тогда

5. Если тогда уравнение имеет два различных действительных корня

 

Пример 18.

 

Решение

 

1. Если уравнение примет вид:

В свою очередь, это уравнение при a = 0 имеет бесконечное множество решений, При - единственное решение x = a.

2. Если Найдем дискриминант:

Преобразуем уравнение к приведенному, получим:

 

Это уравнение два различных действительных корня. По теореме Виета:

 

Нетрудно найти, что эти равенства выполняются, только в одном случае, когда и

В самом деле, только при этих значениях и будет выполняться теорема Виета для уравнения:

 

При других возможных комбинациях значений и сумма и произведение их не будут равны данным значениям по теореме Виета. (Конечно, можно воспользоваться обычным способом определения корней по формуле.)

 

Ответ:

 

1. Если тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

3. Если тогда уравнение имеет два различных действительных корня:

и

 

Пример 19.

 

Решение

 

Рассмотрим случай, когда первый коэффициент равен нулю:

Это произойдет при и

1. При, уравнение примет вид: откуда

2. При уравнение примет вид: откуда

3. Если тогда, чтобы уравнение имело корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

После преобразований, получим: при любом действительном значении a.

 

1) Если D = 0, тогда уравнение имеет единственное решение. Это произойдет при и

 

Единственный корень уравнения, при этих значениях a определяется по формуле

 

В частности, при, при, также

 

2) Если, D > 0 и уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по общей формуле.

Но эти преобразования довольно сложны, поэтому найдем корни, применяя теорему Виета.

Преобразуем уравнение к приведенному, получим:

 

По теореме Виета, сумма корней должна быть равна: а произведение

 

Такое возможно только в одном случае, если Это легко проверить, выполнив сложение и умножение корней.

 

Ответ:

 

1. Если

2. Если

3. Если

4. Если тогда

 

Задание 4

 

Решите уравнение относительно параметра a:

1.

2.

3.

4.

5.