Установление зависимости между корнями двух уравнений. Еще один способ решения квадратного уравнения

 

Пример 14. Какая зависимость существует между корнями двух уравнений, где a, b, c, p, q не равны 0: и

 

Решение

 

Во-первых, корни уравнений должны существовать (первые коэффициенты не равно нулю по условию), значит, для первого уравнения: для второго уравнения: или откуда получаем такое же соотношение, как и для первого уравнения:

Пусть и - корни первого уравнения, а и - корни второго уравнения. По теореме Виета, для первого уравнения, находим:

Для второго уравнения, по теореме Виета, имеем:

Подставим в последние два равенства вместо

В результате такой подстановки получаем:

 

Ответ:

 

Пример 15. Найдите корни уравнения если

 

Решение

1. Если a = 0, тогда уравнение примет вид:, а условие станет таким: Из условия находим: уравнение примет вид

a) Если b = 0, тогда получим - это уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) Если тогда

2. Если тогда найдем дискриминант

Из соотношения выразим b и подставим в выражение для дискриминанта:

a) При a = c имеет один корень:

b) При уравнение имеет два различных корня:

 

 

Ответ:

 

1. a) Если a = 0 и b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) Если a = 0, но тогда x = 1.

2. а) Если и, тогда уравнение имеет один корень:

б) Если и тогда уравнение имеет два различных действительных корня:

 

Пример 16. Найти рациональный способ решения следующих уравнений:

1) 2)

 

Решение

 

1)

Находим дискриминант: Он будет неотрицательным при любом действительном значении b.

Рассмотрим два случая.

1. В этом случае уравнение имеет единственный корень

2, Если тогда и уравнение имеет два различных действительных корня, которые легко найти по теореме Виета. Их сумма должна быть равна, а произведение равно Только два числа дают в сумме, а в произведении - это и 1. Значит,

 

Ответ: 1. Если, тогда уравнение имеет единственный корень

2. Если тогда уравнение имеет два различных корня:

 

2)

 

Решение

 

1. Если Это возможно в двух случаях, при и

Если b = 0, тогда уравнение примет вид которое при a = 0 имеет бесконечное множество решений, а при - единственное решение: x = 1.

Если a = b = 0, то этот случай уже рассмотрен - уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если, тогда будем решать уравнение, как квадратное относительно x. Для этого преобразуем его к приведенному, для чего разделим обе части уравнения на

Получим уравнение

Пусть и - корни уравнения, тогда, по теореме Виета, сумма корней равна:

 

а их произведение равно

 

Теперь становится понятным, что корнями уравнения могут быть только числа:

В самом деле, произведение корней дает:

Покажем, что их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком:

 

 

Ответ:

 

1. Если a = b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений.

2. Если b = 0, но тогда уравнение имеет единственное решение x = 1.

3. Если и тогда уравнение имеет два корня