Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами

 

Определение. Уравнение вида где a, b, с - действительные числа, причем x - переменная, называется квадратным.

 

Дискриминантом квадратного уравнения называется число, составленное из коэффициентов уравнения:

По значению дискриминанта можно установить число решений уравнения или узнать, имеет ли оно решение вообще, т. е. исследовать уравнение.

 

1-й случай. D > 0. Уравнение имеет два различных действительных корня (действительных, т. е. принадлежащих множеству действительных чисел):

Если построить график квадратной функции то окажется, что он в двух точках пересекает ось OX, которые и являются корнями уравнения. Причем, если a > 0, то ветви графика (параболы) будут направлены вверх, при - ветви направлены вниз. Это показано на рис. 24 и рис. 25.

 

 

Попутно следует заметить, что если a > 0, то трехчлен (y) принимает положительные значения (y > 0) при а отрицательные значения (y < 0) при Мы заведомо считаем что

Если a < 0, то y > 0 при y < 0 при

 

2-й случай. Если D = 0, тогда уравнение имеет единственное решение или два равных корня:

График квадратной функции, в этом случае, имеет только одну точку пересечения с осью OX (см. рис. 26).

Рис. 26

 

Замечаем, что если a > 0, тогда трехчлен (y) принимает положительные значения при всех значениях x, кроме и не принимает отрицательных значений;

если a < 0, тогда трехчлен (y) принимает отрицательные (y < 0) значения при всех значениях x, кроме и не принимает положительных значений.

3-й случай. Если D < 0, тогда уравнение не имеет действительных корней.

График функции не будет пересекать ось OX и при a > 0 функция принимает при всех x только положительные значения (y > 0), а при a < 0 только отрицательные значения (y < 0) (см. рис. 27).

Рис. 27

 

Определение. Квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при равен 1, т. е. a = 1.

В этом случае, уравнение можно записать в виде: