З а д а ч а 3. Построить тень отрезка [AB] на поверхности конуса методом секущих плоскостей

Множество лучей, падающих на шар (рис. 37), образует световой цилиндр, соосный с его поверхностью, поэтому общим элементом для двух поверхностей (на основании леммы о пересечении соосных поверхностей) будет окружность, представляющая собой контур собственной тени шара. Теневой цилиндр пересекает плоскость H по эллипсу, который является падающей тенью шара. При нахождении очертаний этих теней можно использовать преобразование чертежа, например, метод перемены плоскостей проекций. Проведем плоскость V₁, параллельную направлению S,и построим новые фронтальные проекции шара и луча. Контур собственной тени шара отобразится на этой плоскости отрезком прямой [ а₁' b₁' ]. Поскольку аппликаты всех точек контура в старой и новой системе плоскостей проекций одинаковы, можно найти множество точек, принадлежащих очертанию контура на обеих проекциях. Вначале определим с помощью характерных точек размеры осей эллипсов, в которые проецируется контур, а затем аналогичным образом построим необходимое количество случайных точек. Соединив плавной кривой линией одноименные проекции найденных точек с учетом видимости, получим проекции очертания контура собственной тени.

Построение падающей тени шара начнем с нахождения тени точки O (o, o’) (центра шара) – точки о_Т. Искомая тень на плоскости V₁ отобразится прямолинейным отрезком, равным большой оси искомого эллипса

Размер малой оси эллипса [ m_1Т n_1Т ] равен диаметру шара. Нахождение случайных точек очертания контура выполняется следующим образом:

На построенном контуре собственной тени берется произвольная точка
и определяется ее падающая тень. По множеству найденных падающих теней случайных точек завершаем построение эллипса (нахождение случайных точек на чертеже не показаны для удобства восприятия изображений).

Рис. 37. Построение теней на шаре

На рис. 38 показан другой способ нахождения теней шара. Как отмечалось выше, контурами собственных тенейшара являются эллипсы. Большие оси этих эллипсов – отрезки [ ab ] и [ c'd' ] равны диаметру шара. Точки A A (a, a’) и B (b, b’) расположены на экваторе сферы, а C (c, c’)
и D (d, d’) на главном меридиане, плоскость которого параллельна V. Учитывая симметрию эллипса относительно его большой и малой осей, можно получить точки, симметричные точкам c и d, и а ' и b ' на соответствующих проекциях. После этого по восьми полученным точкам выполнить очертание эллипсов с учетом видимости.

Построение падающей тени шара как и в предыдущем случае начинаем с нахождения точки о_Т. Малая ось эллипса, представляющего собой падающую тень, равна отрезку [ a_Т b_Т ]. Большая полуось – высоте правильного треугольника, построенного на отрезке [ a_Т b_Т ] Определив точку n_Т, строим точку, ей симметричную относительно оси [ a_Т b_Т ]. По большой
и малой оси можно построить эллипс различными способами (их около шестисот!), один из которых показан на рис. 38 в правом нижнем углу – способ родственного соответствия. Ввиду того, что этот раздел не изучается студентами в курсе начертательной геометрии, приведем только порядок нахождения случайных точек искомого эллипса.

Рис. 38. Второй способ нахождения теней шара

С центром в точке о_Т построим две окружности, диаметры которых равны большой и малой осям эллипса. Затем через точку о_Т проведем какой-либо луч и отметим точки его пересечения с каждой окружностью.

Из полученных точек проведем прямые, параллельные большой
и малой осям и на их пересечении зафиксируем одну из искомых точек эллипса, На рисунке ниже показано построение одной из таких точек – точки 1_Т. Остальные точки определяются аналогично и соединяются плавной кривой.

В том случае, когда требуется определить собственную тень шара на одном изображении, можно воспользоваться приемом, показанным на рис. 39.

Рис. 39. Построение собственной тенишара по 8-ми точкам

Точки 1,2,…, 8 указывают на последовательность нахождения восьми точек искомого эллипса.

Аналитическое обоснование этому приему существует, но в данной работе не приводится.

Рассмотрим некоторые задачи, связанные с построением теней на поверхности шара.