З а д а ч а 1. Определить тень точки А на поверхности шара (рис

Определить тень точки А на поверхности шара (рис. 40).

 

Решение данной задачи сводится к нахождению точки пересечения светового луча, проведенного через точку А, с поверхностью шара.

Поскольку в задаче не ставится вопрос о нахождении собственных и падающих теней шара, то достаточно определить только точки пересечения светового луча с поверхностью шара.

Задачи такого рода решаются по известному алгоритму:

1. луч заключается в какую-либо плоскость (или поверхность);

2. строится линия пересечения данной поверхности с проведенной плоскостью (или поверхностью) – фигура сечения;

3. определяются искомые точки пересечения луча с построенной фигурой сечения.

Поскольку луч занимает в пространстве общее положение, авторы учебников по начертательной геометрии обычно рекомендуют применять
в этом случае преобразование чертежа (например, метод замены плоскостей проекций), для того чтобы луч или прямая линия заняли в пространстве частное положение, поскольку только в этом случае можно получить точное решение задачи.

 

 

Рис. 40. Решение задачи 1

 

Заметим, что преобразованные чертежи имеют большие достоинства: они легко читаются, их применение позволяет избежать построения лекальных кривых по множеству точек и получить точное решение задачи. Но, к сожалению, преобразованные чертежи занимают большую площадь на поле листа бумаги и потому являются довольно громоздкими.

Известно, что любую задачу по начертательной геометрии можно решить, не прибегая к преобразованию чертежа. Покажем, как в данной задаче обойтись без последнего и в то же время получить точное решение.

Воспользуемся приведенным выше алгоритмом нахождения точки пересечения прямой линии с поверхностью:

1.заключим световой луч, проходящий через точку А, в коническую поверхность вращения, соосную со сферой. За вершину этой поверхности примем точку T (t, t '), лежащую в плоскости главного меридиана сферы. Ось конической поверхности определится парой точек O (o, o ') и T (t, t ').

Для построения главного меридиана конической поверхности, параллельного плоскости V, применим способ прямоугольного треугольника

(рис. 40), который реализован на графическом условии данной задачи,
а необходимые пояснения к нему приведены на этом же рисунке справа.

После построения очертания конической поверхности перейдем
к выполнению второго пункта алгоритма:

2. найдем линию пересечения данной сферы с проведенной вспомогательной поверхностью;

Обе поверхности сосны по построению, поэтому согласно лемме
о пересечении соосных поверхностей они пересекутся по окружностям столько раз, сколько раз пересекутся их главные полумеридианы. В данном случае пересечение произошло по двум окружностям, которые на фронтальной проекции отобразились отрезками прямых линий (на
рис. 40 показана только одна из них, которая задействована в задаче).

3. Определяем искомые точки пересечения светового луча, принадлежащего конической поверхности, с построенными фигурами сечения (окружностями).

На эпюре зафиксирована только одна точка а_Т' поскольку она является действительной тенью точки А на фронтальной проекции. Горизонтальную проекцию а_Т определим с помощью линии связи на горизонтальной проекции луча, пользуясь свойством принадлежности.