Основные свойства

1. Коммутативность сложения.
2. Коммутативность умножения.
3. Ассоциативность сложения.
4. Ассоциативность умножения.
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Расширение понятия числа — это новые определения для числовых выражений, не вычислимых в старой области значений, при «постоянстве формальных законов» (Hankel, 1867, §3.)

Например, среди натуральных чисел нет такого, которое означало бы половину, однако «половина», «середина отрезка», «равная пропорция» суть термины, вполне строго соответствующие операции деления единицы на двойку: 12. Обобщение этого построения до всех возможных значений выражения aba, b ∈N — есть расширение понятия числа от натуральных N к неотрицательным рациональным Q≥0, при котором натуральные пропорции 1:1, 2:1 … n:1 суть частный случай: ∀ a, b ∈N abb ≡ a = a 1∈Q.

С другой стороны:

§ Отношение равенства позволяет определить ноль, как натуральное число, сумма которого с любым натуральным числом равна тому числу: 1+0=1, то есть нейтральный элемент («единица») по сложению.

§ На утверждении равенства двух выражений основан вычислительный приём уравнения.

§ Операция вычитания, — инверсия (обращение, «переворот») сложения: 1+1−1=1; 1−1=0. Вычитание большего числа из меньшего требует расширения системы до Z — алгебраического кольца целых чисел: 1−(1+1)=−1

Это простейшие примеры, однако, знак равенства =, отрицательные числа и ноль не употребляются классическими математиками Греции и Рима.

Логическая же невозможность точного дробного (рационального, Q) вычисления даже таких простых геометрических формализмов, как диагональ квадрата 2 a −−√ или длина единичной окружности π — ведут к допущению иррациональных (или, соответственно, трансцендентных) чисел, не выразимых в конечных арифметических (или алгебраических) соотношениях, но, по факту их принадлежности континууму, состоящих во множестве действительных чисел R. В школьных учебниках те обычно представляются как бесконечные и допустимо апериодичные десятичные дроби.

Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел С. Его можно представлять как поле действительных чисел и мнимой единицы i.

Примеры дальнейших расширений понятия числа: гиперкомплексные (начиная с кватернионов), трансфинитные, p-адические, сюрреальные…

Первоосновой всех этих объектов являются натуральные числа.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения вматематическом анализе.

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x ₅ этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N -арная операция f: Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n + y_n.

Разностью числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n − y_n.

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n) такая, что .

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности y_n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или дажекольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность , где (n_k) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.