Расширенные конечные поля

Как уже известно, существуют конечные поля только порядка ( – простое, – натуральное числа). Простое поле порядка может трактоваться как множество остатков от деления целых чисел на : с операциями сложения и умножения по модулю . Аналогичным образом расширенное поле порядка , может трактоваться как множество остатков от деления полиномов над на некоторый неприводимый полином степени с операциями сложения и умножения по модулю . Другими словами, поле содержит все полиномы над полем степени не выше с общепринятыми операциями сложения и умножением, осуществляемым в два этапа – вначале производится обычное умножение полиномов, а затем удерживается только остаток от деления полученного произведения на полином .

Пример 8.1.1. Возьмем полином . Учитывая его неприводимость и тот факт, что , данный полином пригоден для построения поля . Для двух полиномов степени не выше двух, например, и , их сумма в поле определится, как . Вычисление их произведения в поле начинается обычным образом. На первом шаге находится . Затем осуществляется деление полученного произведения на с последующим удержанием остатка, а именно: . Таким образом, в соответствие с правилом умножения в поле имеем . Поскольку операция сложения полиномов выполняется непосредственным образом, необходимо построить полную таблицу умножения элементов расширенного поля по модулю неприводимого полинома , которая представлена в таблице 8.1.

Отметим, что среди полиномов степени не выше присутствуют и полиномы нулевой степени, т.е. элементы простого поля , сложение и умножение которых, осуществляются по правилам поля . Это означает, что простое поле полностью содержится в расширенном , или, другими словами, является подполем . Для поля порядок его простого подполя называется характеристикой поля . Роль данного параметра проявляется, например, при вычислении суммы или произведения элементов поля в полиномиальном представлении, поскольку значения соответствующих коэффициентов находятся на основе арифметики по модулю . Любое расширенное поле является полем характеристики 2, вследствие чего вычисление коэффициентов полиномов, рассматриваемых как элементы поля , всегда осуществляется по модулю два. В частности, для любого , поскольку .