Мультипликативный порядок элементов поля. Примитивные элементы
В любом поле
Тогда
и для любого ненулевого
Следовательно, в конечных полях действуют те же самые правила обращения с целочисленными степенями элементов, что и в обычной арифметике. Возьмем некоторый ненулевой элемент
мультипликативным порядком элемента Следующая теорема, приводимая без доказательства, утверждает, что значения мультипликативных порядков элементов поля подчиняются достаточно строгому ограничению. Теорема 8.2.1. Мультипликативный порядок любого ненулевого элемента Пример 8.2.1. Элемент Пример 8.2.2. В поле Элемент В любом конечном поле Пример 8.2.3. Элементы 3 и 5 поля Пример 8.2.4. В поле Рассмотренные примеры позволяют сделать следующее утверждение. Утверждение 8.2.1. Если мультипликативный порядок элемента
где Утверждение 8.2.2. В любом поле Расширенное поле, построенное как множество полиномов по модулю некоторого неприводимого полинома (см. пример 8.1.1), всегда содержит в качестве элемента поля полином Таким образом, построение расширенного поля
Учитывая, что Пример 8.2.5. Полином
При перемножении двух элементов поля Пример 8.2.6. Построим поле
|
, является ли оно простым или расширенным, определена операция 
–кратного умножения элемента 
. Естественно назвать такое произведение 
, обозначив его как
.
,
.
. Поскольку все они являются элементами поля 
будет справедливо 
, а значит, 
. Назовем минимальное натуральное число 
, для которого
,
.
поля 
, т.е. число ненулевых элементов поля 
поля 
имеет мультипликативный порядок 
, поскольку для него 
, 
и 
. Аналогично для остальных элементов поля легко показать, что 
, 
, 
и 
. Видно, что порядок любого ненулевого элемента поля 
.
(см. пример 8.1.1) число ненулевых элементов поля является простым: 
, а, значит, делителями его могут быть только 1 и 7. Поскольку единственным элементом порядка 1 является единичный, то все остальные ненулевые элементы имеют максимальный мультипликативный порядок, равный 7.
поля 
, называется примитивным элементом поля.
, 
различны и пробегают все ненулевые элементы поля 
, 
, 
, 
, 
и 
. Для не примитивного элемента поля, например, 2 аналогичные вычисления дают следующий результат: 
, 
и 
, и значит, возводя 2 в различные 
(см. пример 8.2.2) все ненулевые элементы поля за исключением единицы примитивны, поскольку число ненулевых элементов является простым и, следовательно, возможные значения мультипликативного порядка ограничены 1 и 7. Тогда возведение любого из этих элементов в степень от 0 до 6 позволяет получить все ненулевые элементы поля.
определяется как
,
– наибольший общий делитель 
.
примитивных элементов, где 
– функция Эйлера, указывающая число целых чисел из диапазона от 1 до 
, взаимно простых с 
. Если окажется, что 
определены над любым конечным полем. Они являются полезным инструментом для построения расширенных полей, поскольку позволяют реализовать очень простой вариант таблицы умножения элементов поля. Действительно, любые ненулевые элементы 
расширенного поля 
могут быть выражены как некоторые 
. Тогда 
и, значит, таблица умножения двух элементов поля 
, который выбирается из специальной таблицы: 
. Тогда 
определится как 
. Предположение о примитивности 
. Отсюда
.
–й степени 
, 
, …, 
с коэффициентами из основного поля 
является примитивным над 
. Учитывая, что в поле 
, и обозначая 
, получаем 
. Последовательное нахождение степеней примитивного элемента 
: 
и 
, как и в примере 8.1.1, можно воспользоваться тем фактом, что 
и 
. Тогда их произведение осуществляется как 
, что значительно экономичнее, чем это было реализовано в примере 8.1.1.
на основе примитивного полинома 
. Как и в примере 8.2.5, учитывая, что в поле 
и обозначая 
, получаем 
. Тогда последовательное возведение в степень примитивного элемента 
дает все ненулевые элементы поля 
