Формула полной вероятности и Байеса

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n событий Н ₁, H ₂,..., Н_n, которые удовлетворяют следующим двум условиям:

1) они являются попарно несовместными, т.е. при i ≠ j.

2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их объединение есть достоверное событие.

Определение. События Н ₁, H ₂,..., Н_n удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гипотезами.

Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух указанных требований, то их совокупность называют полной группой событий. Таким образом, гипотезы – это попарно несовместные события, образующие полную группу событий.

Пусть также имеется некоторое событие А и известны вероятности гипотез P(Н ₁),..., Р (Н_n), которые предполагаются ненулевыми, и условные вероятности P(А | Н ₁),..., P(A | H_n) события A при выполнении этих гипотез.

Теорема. Пусть для некоторого события A и гипотез Н ₁, H ₂,..., Н_n известны P(Н ₁),..., P(Н_n), которые положительны, и P(А | Н ₁),..., P(A | Н_n). Тогда безусловную вероятность определяют по формуле

P(A) = P(H ₁) P(А | Н ₁) +... + P(Н_n) P(A | Н_n)

которую называют формулой полной вероятности.

Доказательство. Представим событие А в виде С учетом того, что события , несовместны, имеем В соответствии с формулой умножения вероятностей получаем

Теорема. Пусть длянекоторого события A,P(A)> 0, и гипотез H ₁, ..., H_n известны P(H ₁),..., P(H_n) (P(H_i) > 0, i = 1,..., n) и P(A | H ₁),..., P(A | H_n). Тогда условная вероятность P(H_i |A), i = 1,..., n, гипотезы H_i при условии события A определяется формулой Байеса