Формула полной вероятности и Байеса
Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n событий Н 1, H 2,..., Нn, которые удовлетворяют следующим двум условиям: 1) они являются попарно несовместными, т.е. 2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их объединение есть достоверное событие. Определение. События Н 1, H 2,..., Нn удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гипотезами. Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух указанных требований, то их совокупность называют полной группой событий. Таким образом, гипотезы – это попарно несовместные события, образующие полную группу событий. Пусть также имеется некоторое событие А и известны вероятности гипотез P(Н 1),..., Р (Нn), которые предполагаются ненулевыми, и условные вероятности P(А | Н 1),..., P(A | Hn) события A при выполнении этих гипотез. Теорема. Пусть для некоторого события A и гипотез Н 1, H 2,..., Нn известны P(Н 1),..., P(Нn), которые положительны, и P(А | Н 1),..., P(A | Нn). Тогда безусловную вероятность определяют по формуле P(A) = P(H 1) P(А | Н 1) +... + P(Нn) P(A | Нn) которую называют формулой полной вероятности.
Теорема. Пусть длянекоторого события A,P(A)> 0, и гипотез H 1, ..., Hn известны P(H 1),..., P(Hn) (P(Hi) > 0, i = 1,..., n) и P(A | H 1),..., P(A | Hn). Тогда условная вероятность P(Hi |A), i = 1,..., n, гипотезы Hi при условии события A определяется формулой Байеса
|
при i ≠ j.
С учетом того, что события 
, несовместны, имеем
В соответствии с формулой умножения вероятностей получаем
