Методика изучения темы «Представление информации»Тема относится к разделу «Информационные процессы». Основные цели. Раскрыть понятие системы счисления. Познакомить учеников со способами представления чисел в позиционных системах счисления. Дать представление об использовании двоичной системы в компьютере. Изучаемые вопросы: 1. Позиционные и непозиционные системы счисления. 2. Основные понятия позиционных систем: основание алфавит. 3. Развернутая форма представления чисел в позиционных системах. 4. Перевод чисел из одной системы в другую. 5. Особенности двоичной арифметики. 6. Связь между двоичной и шестнадцатеричной системами. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы. Ученики 7 или 8 класса, знакомы с записью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Они привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетии (XX век) и в некоторых других нумерациях. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел. С методической точки зрения бывает очень эффективный прием, когда учитель подводит учеников к самостоятельному открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципами записи чисел. Сделать это можно, отталкиваясь от конкретного примера: на доске изображаются следующие числа XXX и 333. Первое - римское «тридцать», второе - арабское «триста тридцать три». Задается вопрос: «Чем отличаются принципы записи многозначных чисел римскими и арабскими цифрами?» Если учащиеся отвечают не сразу, то, указывая на отдельные цифры римского числа, спрашивают: - Что (какое количество) обозначает эта цифра? Следует ответ: - Десять. - А эта цифра? - Десять. - А эта? - Десять. - Как получается значение данного трехзначного числа? - Десять прибавить десять, прибавить десять, получается тридцать. А теперь переходим к числу 333. Снова задаем вопросы: - Какое количество в записи числа обозначает первая цифрасправа? - Три единицы. - А вторая цифра? - Три десятка. - А третья цифра? - Три сотни. - А как получается общее значение числа? - К трем единицам прибавить три десятка и прибавить три сотни получится триста тридцать три. Из сравнения записи чисел следуют правила: в римском способе записи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение зависит не только от того, какая это цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе. Сделав ударение на слове «позиция», учитель сообщает, что римский способ записи чисел называется непозиционным, а арабский - позиционным. После этого можно ввести термин «система счисления» Система счисления - это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Римский способ записи чисел является примером непозиционной системы счисления, а арабский - это позиционная система счисления. Следует подчеркнуть связь между способом записи чисел и приемами арифметических вычислений в соответствующей системе счисления. Следует предложить ученикам выполнить умножение, например, числа сто тридцать четыре на семьдесят шесть, используя римскую и арабскую системы счислений. С арабскими числами они легко справятся, а также смогут убедиться, что римские цифры - не помощники в вычислениях. Необходимо дать понять ученикам, что позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом - множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления. Следует задать вопрос: «Почему арабская система называется десятичной системой счисления?» Делается вывод: основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной. Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления. В системах с основаниями, не большими 10 используются только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают также латинские буквы в алфавитном порядке (шестнадцатеричная система). Нужно научить учеников записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах. Объяснение следует проводить на примере десятичной системы, для которой вид натурального ряда чисел им хорошо известен: 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11... 19 20... 99 100 101... По такому же принципу строится натуральный ряд и в других системах счисления. Например, в четверичной системе (с основанием 4): 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100 101 102 103 110 111... Аналогично и для других систем. Наибольший интерес представляет натуральный ряд двоичных чисел: 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 и так далее. Следует обратить внимание учеников на быстрый рост количества цифр в числе. Для указания на основание системы, к которой относится число, вводим индексное обозначение. Еще одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Например, нельзя называть восьмеричное число 368 как тридцать шесть! Надо говорить: «Три-шесть». Или, нельзя читать 1012 как «сто один». Надо говорить «один-ноль-один». Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой записи числа. Для объяснения привлекают десятеричную систему. 5312, 5=5000+300+10+2+0, 5312.5=5х103+3х102+1х101+2х100+5х10-1. Аналогично можно получить развернутую схему чисел в других системах счисления. Объяснение способов перевода следует начать с перевода в десятичную систему чисел из других систем счисления. Делается это просто: нужно перейти к записи развернутой формы числа в десятичной системе. Вот пример такого перехода для приведенного выше восьмеричного числа: 17538= (1x103+ 7x102+5x101+ 3)8 =(1х83 + 7х82+5х81+3)10. Теперь нужно вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики и получить окончательный результат: 17538 = (512 + 448 + 40 + 3) 10 = 100310. Чаще всего развернутую форму числа сразу записывают в десятичной системе: 101101,12 = (1х25+0х24+1х23+1х22+ 0x21+l+lx2-1 )10=32+8+4+1+0,5=45,510. Для вычисления значения числа по его развернутой форме записи существует удобный прием, который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том, что Развернутая запись числа преобразуется в эквивалентную форму с вложенными скобками. Например, для рассмотренного выше восьмеричного числа это выглядит так: 17538 =(1х 83+7х82+5х81+3)10 =((1х8+7)х8+5)х8+3 Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах: 1) двоичная нумерация; 2) двоичная арифметика, то есть выполнение арифметических вычислений над двоичными числами. С двоичной нумерацией ученики встретятся в теме: «Тексты в компьютерной памяти». О двоичной нумерации можно говорить и при изучении темы «Как кодируется изображение». Практическая потребность знакомства с двоичной арифметикой возникает при изучении главы «Как работает процессор ЭВМ». В этом разделе рассказывается, как процессор ЭВМ выполняет арифметические вычисления. Для выполнения арифметических операций над двоичными числами необходимо пользоваться следующими правилами: 0+0=0 0x0=0 0-0=0 1+0=1 1x0=0 1-0=1 1+1=10 1x1=1 10-1=1 Решаются простейшие задачи на сложение и вычитание, а также умножение двоичных однозначных и многозначных чисел. Представление информации, хранящейся в компьютерной памяти, в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Для этих целей принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлениями числа. При переводе числа из одной системы в другую одной шестнадцатеричной цифре соответствует четырехразрядный двоичный код. Это соответствие отражено в двоично-шестнадцатеричной таблице, приведенной в учебнике. Такая связь основана на том, что 16 = 24, и число различных 4-х разрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится путем формальной перекодировки. Принято считать, что если дано шестнадцатеричное представление внутренней информации, то это равносильно наличию двоичного представления. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного. Желательно, чтобы ученики запомнили двоично-шестнадцатеричную таблицу.
|
